குழிவுச் சார்பு

கணிதத்தில் குழிவுச் சார்பு (concave function) என்பது குவிவுச் சார்பின் கூட்டல் நேர்மாறுச் சார்பு அதாவது எதிர்ச் சார்பு ஆகும். குழிவுச் சார்பை, கீழ்நோக்கு குழிவுச் சார்பு அல்லது மேல்நோக்கு குவிவுச் சார்பு என்றும் அழைக்கலாம்.

வரையறை

ஒரு திசையன் வெளியிலமைந்த குவிவுக் கணம் X இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட மெய்மதிப்புச் சார்பு f : X → R கீழ்க்காணுமாறு இருப்பின் குழிவுச் சார்பு என வரையறுக்கப்படும்.

$x_{1},$ $x_{2}$ என்பவை X இன் இரு புள்ளிகள்; $t\in [0,1]$ எனில்:

$f(tx+(1-t)y)\geq tf(x)+(1-t)f(y).$

திட்டமாக குழிவுச் சார்பு

$f(tx+(1-t)y)>tf(x)+(1-t)f(y)\,$

$0<t<1\,$, $x_{1}\not =x_{2}$ எனில் சார்பு, திட்டமாகக் குழிவுச் சார்பு (strictly concave) என வரையறுக்கப்படும்.

f:R→R என்பது ஒரு குழிவுச் சார்பு எனில் அதன் ஆட்களத்தின் x மற்றும் y இரு புள்ளிகளுக்கிடையே உள்ள ஒவ்வொரு z க்கும் (z, f(z) ) புள்ளியானது (x, f(x) ) , (y, f(y) ) ஆகிய இருபுள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டிற்கு மேற்புறத்தில் அமையும்.

பண்புகள்

ஒரு குவிவுக் கணத்தின் மீது −f(x) குவிவுச் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்த குவிவுக் கணத்தின் மீது f(x) குழிவுச் சார்பாக இருக்கும்.

ஒரு இடைவெளியின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட வகையிடத்தக்கச் சார்பின் வகைக்கெழு f ′ அந்த இடைவெளியில் ஓரியல்பாகக் குறையும் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அச்சார்பு குவிவுச் சார்பாக இருக்கும். குழிவுச் சார்பு, குறையும் சாய்வு கொண்டிருக்கும்.

இருமுறை வகையிடத்தக்கச் சார்பு f, இன் இரண்டாம் வகைக்கெழு f ′′(x), எதிரிலா மதிப்பாக இருப்பின் தரப்பட்ட சார்பு குவிவுச் சார்பாகவும் இரண்டாம் வகைக்கெழு நேரிலா மதிப்பாக இருப்பின் குழிவுச் சார்பாகவும் இருக்கும்.

இருமுறை வகையிடத்தக்கச் சார்பு f, இன் இரண்டாம் வகைக்கெழு f ′′(x) இன் மதிப்பு நேரிலா மதிப்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே f(x) குழிவுச் சார்பாகவும், இரண்டாம் வகைக்கெழு எதிர்மதிப்பாக இருப்பின் திட்டமாகக் குழிவுச் சார்பாகவும் இருக்கும். ஆனால் இதன் மறுதலை உண்மையல்ல.

f வகையிடத்தக்கதாகவும் குழிவுச் சார்பாகவும் இருந்தால்:

$f(y)\leq f(x)+f'(x)[y-x]$

C இல் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு, C இலுள்ள ஏதேனும் இரு மதிப்புகள் x மற்றும் y க்குக் கீழ்க்காணுமாறு இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே குழிவுச் சார்பாக இருக்கும்:

$f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}$

எடுத்துக்காட்டுகள்

• $f(x)=-x^{2},$ மற்றும் $f(x)={\sqrt {x}}$ ஆகிய இரு சார்புகளின் இரண்டாம் வகைக்கெழுக்கெழுக்களும் எதிர் மதிப்புடையவை என்பதால் அவை இரண்டும் குழிவுச் சார்புகளாகும்.
• நேரியல் சார்பு $f(x)=ax+b$, குழிவு மற்றும் குவிவுச் சார்பாக இருக்கிறது.
• $[0,\pi ]$ இடைவெளியில் $f(x)=\sin(x)$ குழிவுச் சார்பு.
• $\log |B|$ சார்பு ஒரு குழிவுச் சார்பு. இங்கு $|B|$ ஆனது எதிரிலா-உறுதியான அணி (nonnegative-definite matrix) B இன் அணிக்கோவை.

மேற்கோள்கள்

• Crouzeix, J.-P. (2008). "Quasi-concavity". in Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E. The New Palgrave Dictionary of Economics (Second ). Palgrave Macmillan. doi:10.1057/9780230226203.1375. http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_Q000008. 
• Rao, Singiresu S. (2009). Engineering Optimization: Theory and Practice. John Wiley and Sons. பக். 779. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-470-18352-7. 
• Hal Varian (1992). Microeconomic Analysis (Third ). W.W. Norton and Company. https://archive.org/details/microeconomicana00vari_0.