சமச்சீரற்ற உறவு

கணிதத்தில் சமச்சீரற்ற உறவு (asymmetric relation) என்பது கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படும் ஒரு ஈருறுப்பு உறவு.

X கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவு R. சமச்சீரற்ற உறவின் கீழ், X இலுள்ள அனைத்து a , b உறுப்புகளுக்கும்

'a க்கு b உடன் உறவிருந்தால், b க்கு a உடன் உறவிருக்காது.

கணிதக் குறியீட்டில் சமச்சீரற்ற உறவு:

$\forall a,b\in X,\ aRb\;\Rightarrow \lnot (bRa)$.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• x , y இரு மெய்யெண்கள், x < y (விடச்சிறியது) எனில், y, x ஐ விடச் சிறியதாக இருக்காது.

எனவே, மெய்யெண்கள் கணத்தில் (R) வரையறுக்கப்பட்ட < (விடச் சிறியது) என்பது சமச்சீரற்ற உறவு.

• x ≤ x என்பதை திருப்பி எழுதக் கிடைப்பது x ≤ x ஆகும். இரு கூற்றுகளுமே உண்மை. எனவே ≤ (விடச்சிறியது அல்லது சமன்) என்ற செயலி சமச்சீரற்ற உறவாகாது. பொதுவாக, x R x என்பது சில x களுக்கு உண்மையாகுமானால் அந்த உறவு R சமச்சீரற்ற உறவாக இருக்காது. அதாவது எதிர்வற்ற உறவுகளாக இல்லாதவை சமச்சீரற்றவையாகவும் இருக்க முடியாது.
• சமச்சீரற்ற உறவுகள், சமச்சீர் உறவாக இருக்கவேண்டியதில்லை. இருவகையாகவும் இல்லாத உறவுகளும் உண்டு.

எடுத்துக்காட்டாக ≤ (விடச் சிறியது அல்லது சமம்) சமச்சீரற்ற உறவு. ஆனால் அது சமச்சீர் உறவு இல்லை. (2 ≤ 5 ஆனால் மறுதலை உண்மையில்லை)

பண்புகள்

• ஒரு உறவு எதிர்சமச்சீர் உறவாகவும், எதிர்வற்ற உறவாகவும் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அது சமச்சீரற்ற உறவாக இருக்க முடியும்.
• கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சமச்சீரற்ற உறவுகளும், சமச்சீரற்ற உறவுகளின் நேர்மாறுகளும் சமச்சீரற்றவையாகவே இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு

மெய்யெண்கள் கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட < (விடச் சிறியது) என்பது ஒரு சமச்சீரற்ற உறவு.

மெய்யெண்களின் கணத்திலிருந்து முழுஎண்கள் கணத்திற்கு கட்டுப்படுத்தப்படும்போதும் < ஒரு சமச்சீரற்ற உறவாகவே இருக்கும்.

< (விடச் சிறியது) என்பது ஒரு சமச்சீரற்ற உறவு. அதன் நேர்மாறான > (விடப்பெரியது) என்ற உறவும் சமச்சீரற்றது.

• ஒரு கடப்பு உறவு எதிர்வற்ற உறவாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அது சமச்சீரற்ற உறவு:

கடப்பாகவும் எதிர்வற்றதாகவும் உள்ள ஒரு உறவு ஒருவேளை சமச்சீர் உறவாக இருந்தால்:

a R b எனில், b R a

கடப்புத்தன்மையின்படி,

a R b , b R a இலிருந்து, a R a என்பது உண்மையாகும். இது எதிர்வற்ற உறவு என்பதற்கு முரணாகிவிடும்