A அணியின் இணைக்காரணி அணி C இன் இடமாற்று அணியானது A இன் சேர்ப்பு அணி அல்லது இணைப்பு அணி என வரையறுக்கப்படுகிறது.
a d j ( A ) = C T . {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}~.} R ஒரு பரிமாற்று வளையம்; R இலுள்ள உறுப்புகளாலான n ×n அணி A .
M ij என்பது A அணியின் (i ,j ) சிற்றணிக்கோவை ; இது A அணியின் i ஆவது நிரையையும் j ஆவது நிரலையும் நீக்குவதன் மூலம் பெறப்படும் (n − 1)×(n − 1)}} அணியின் அணிக்கோவை .
C ij என்பது A அணியின் (i ,j ) இணைக்காரணி ;C i j = ( − 1 ) i + j M i j . {\displaystyle \mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}~.} A அணியின் இணைக்காரணி அணி C என்பது ஒரு n ×n அணி; இதன் (i ,j ) ஆவது உறுப்பு A அணியின் (i , j ) ஆவது இணைக்காரணியாக இருக்கும்
C அணியின் இடமாற்று அணியே A அணியின் சேர்ப்பு அணியாகும். அதாவது n ×n வரிசை கொண்ட சேர்ப்பு அணியின் (i ,j ) உறுப்பானது A அணியின் (j ,i ) இணைக்காரணியாக அமையும்:a d j ( A ) i j = C j i = ( − 1 ) i + j M j i {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )_{ij}=\mathbf {C} _{ji}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ji}\,} .
A a d j ( A ) = det ( A ) I . {\displaystyle \mathbf {A} \,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )\,\mathbf {I} ~.}
R இல், det(A ) நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, A அணியும் நேர்மாற்றத்தக்க அணியாக இருக்கும். அவ்வாறு நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் கீழுள்ள இரு முடிவுகளும் உண்மையாகும்:a d j ( A ) = det ( A ) A − 1 , {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}~,}
A − 1 = 1 det ( A ) a d j ( A ) . {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )~.} எடுத்துக்காட்டுகள்
தொகு
1 × 1 பொது அணி
தொகு
எந்தவொரு பொதுவான 1×1 அணிக்கும் அதன் சேர்ப்பு அணி: I = ( 1 ) {\displaystyle \mathbf {I} =(1)} .
2 × 2 பொதுஅணி
தொகு
A = ( a b c d ) {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}}} என்ற 2 × 2 பொதுஅணியின் சேர்ப்பு அணி:adj ( A ) = ( d − b − c a ) {\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}{d}&{-b}\\{-c}&{a}\end{pmatrix}}} .மேலும் det(adj(A )) = det(A ) என்பதும் adj(adj(A )) = A என்பதும் உண்மையாக இருக்கும்.
3 × 3 பொதுஅணி
தொகு
A = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}} இதன் இணைக்காரணி அணி:
C = ( + | a 22 a 23 a 32 a 33 | − | a 21 a 23 a 31 a 33 | + | a 21 a 22 a 31 a 32 | − | a 12 a 13 a 32 a 33 | + | a 11 a 13 a 31 a 33 | − | a 11 a 12 a 31 a 32 | + | a 12 a 13 a 22 a 23 | − | a 11 a 13 a 21 a 23 | + | a 11 a 12 a 21 a 22 | ) {\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}} சேர்ப்பு அணி:
adj ( A ) = C T = ( + | a 22 a 23 a 32 a 33 | − | a 12 a 13 a 32 a 33 | + | a 12 a 13 a 22 a 23 | − | a 21 a 23 a 31 a 33 | + | a 11 a 13 a 31 a 33 | − | a 11 a 13 a 21 a 23 | + | a 21 a 22 a 31 a 32 | − | a 11 a 12 a 31 a 32 | + | a 11 a 12 a 21 a 22 | ) {\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}} 3 × 3 எண் அணி
தொகு
adj ( − 3 2 − 5 − 1 0 − 2 3 − 4 1 ) = ( − 8 18 − 4 − 5 12 − 1 4 − 6 2 ) {\displaystyle \operatorname {adj} {\begin{pmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\!-8&\,18&\!-4\\\!-5&\!12&\,-1\\\,4&\!-6&\,2\end{pmatrix}}} .செயல்முறை:
( − 3 2 − 5 − 1 0 − 2 3 − 4 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{pmatrix}}} அணியின் இணைக்காரணி அணி:
C = ( + | 0 − 2 − 4 1 | − | − 1 − 2 3 1 | + | − 1 0 3 − 4 | − | 2 − 5 − 4 1 | + | − 3 − 5 3 1 | − | − 3 2 3 − 4 | + | 2 − 5 0 − 2 | − | − 3 − 5 − 1 − 2 | + | − 3 2 − 1 0 | ) = ( − 8 − 5 4 18 12 − 6 − 4 − 1 2 ) {\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}0&-2\\-4&1\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}-1&-2\\3&1\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}-1&0\\3&-4\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}2&-5\\-4&1\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}-3&-5\\3&1\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}-3&2\\3&-4\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}2&-5\\0&-2\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}-3&2\\-1&0\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\!-8&\,-5&\!4\\\!18&\!12&\,-6\\\,-4&\!-1&\,2\end{pmatrix}}} இணைக்காரணி அணியின் இடமாற்று அணி:
C T = ( − 8 − 5 4 18 12 − 6 − 4 − 1 2 ) T = ( − 8 18 − 4 − 5 12 − 1 4 − 6 2 ) = adj ( − 3 2 − 5 − 1 0 − 2 3 − 4 1 ) {\displaystyle \mathbf {C} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}\!-8&\,-5&\!4\\\!18&\!12&\,-6\\\,-4&\!-1&\,2\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}\!-8&\,18&\!-4\\\!-5&\!12&\,-1\\\,4&\!-6&\,2\end{pmatrix}}=\operatorname {adj} {\begin{pmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{pmatrix}}} பண்புகள்
தொகு
சேர்ப்பு அணியின் பண்புகள்:
A , B இரண்டும் n ×n அணிகள் எனில்:
a d j ( I ) = I {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I} }
a d j ( A B ) = a d j ( B ) a d j ( A ) {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {AB} )=\mathrm {adj} (\mathbf {B} )\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )}
a d j ( c A ) = c n − 1 a d j ( A ) {\displaystyle \mathrm {adj} (c\mathbf {A} )=c^{n-1}\mathrm {adj} (\mathbf {A} )~} m ஒரு முழு எண் எனில்:
a d j ( A m ) = a d j ( A ) m {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{m})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{m}~}
a d j ( A T ) = a d j ( A ) T {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{\mathsf {T}}~} A ஒரு n ×n அணி; மேலும் n ≥ 2 எனில்:
det ( a d j ( A ) ) = det ( A ) n − 1 , {\displaystyle \det {\big (}\mathrm {adj} (\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{n-1},} மேலும் A ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க n ×n அணி எனில்:
a d j ( a d j ( A ) ) = det ( A ) n − 2 A , {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A} ~,} A நேர்மாற்றத்தக்கது, n = 2 எனில்:
det(adj(A )) = det(A )
adj(adj(A )) = A நேர்மாற்றத்தக்க அணி A க்கு k தடவைகள் சேர்ப்பு அணி காணக் கிடைப்பது:
a d j k ( A ) = det ( A ) ( n − 1 ) k − ( − 1 ) k n A ( − 1 ) k , {\displaystyle \mathrm {adj} _{k}(\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )^{\frac {(n-1)^{k}-(-1)^{k}}{n}}\mathbf {A} ^{(-1)^{k}}~,}
det ( a d j k ( A ) ) = det ( A ) ( n − 1 ) k . {\displaystyle \det {\big (}\mathrm {adj} _{k}(\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{(n-1)^{k}}~.} மேற்கோள்கள்
தொகு
Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), Topics in Matrix Analysis . Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1 வெளியிணைப்புகள்
தொகு
Matrix Reference Manual
Online matrix calculator (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) Compute Adjugate matrix up to order 8
"adjugate of { { a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } }" . வொல்பிராம் அல்பா .