தகு வகுஎண் சார்பு

கணிதத்தில் ஒரு இயல் எண் n இன் தகு வகுஎண் கூட்டுத்தொகை (aliquot sum) அல்லது தகு வகுஎண் கூட்டுத்தொகைச் சார்பு (aliquot sum function) அல்லது தகு வகுஎண் சார்பு என்பது n இன் தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறிக்கும். இதன் குறியீடு s(n) ஆகும்.

s(n)=\sigma _{1}(n)-n

(இதில்

\sigma _{1}(n)

என்பது, வகுஎண் சார்பு ஆகும்.)

s(n), n இன் அனைத்து தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறிக்கிறது. அதாவது n நீங்கலாக, n இன் மற்ற வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையைத் தருகிறது.

s(n)=\sum _{{d|n,} \atop {d\neq n}}d\,.

பகா எண்கள், நிறைவெண்கள், குறைவெண்கள், மிகையெண்கள்) ஆகியவற்றின் இயல்புகளைக் காணப் பயன்படுகின்றது. மேலும், [[தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறைதகு வகுஎண் கூட்டுத்தொகை தொடர்முறையை வரையறுக்கவும் பயன்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு தொகு

n = 15 எனில் 15, நீங்கலான அதன் தகு வகுஎண்கள்: 1, 3, 5

s(15) = 1 + 3 + 5 = 9

$n$ = 1, 2, 3, ... எனில் $s (n)$ இன் மதிப்புகள்:

0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 1, 16, 1, 10, 9, 15, 1, 21, 1, 22, 11, 14, 1, 36, 6, 16, 13, 28, 1, 42, 1, 31, 15, 20, 13, 55, 1, 22, 17, 50, 1, 54, 1, 40, 33, 26, 1, 76, 8, 43, ... (OEIS-இல் வரிசை A001065)

குறிப்பிடத்தக்க எண்களின் இயல்பைக் காணல் தொகு

குறிப்பிடத்தக்க எண்களின் இயல்பைக் காண இக்கூட்டுத்தொகையைப் பயன்படுத்தலாம்.

தகு வகுஎண் கூட்டுத்தொகையானது பூச்சியமாகவுள்ள ஒரேயொரு எண் 1
ஒரு எண்ணின் தகு வகுஎண் கூட்டுத்தொகையானது '1' ஆக 'இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே' அவ்வெண் பகா எண்ணாக இருக்கும்.^[1]

n ஒரு [[நிறைவெண் (கணிதம்)|நிறைவெண் எனில், s(n) = n
n ஒரு மிகையெண் எனில், s(n) > n
n ஒரு குறைவெண் எனில், s(n) < n^[1]
பகுதிநிறைவெண் (அவ்வாறான எண்கள் இருக்குமானால்) $n$ இன் தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை $n + 1$ ஆக இருக்கும்.
கிட்டத்தட்ட நிறைவெண்கள் ('2' இன் அடுக்குகளாக அமையும் எண்கள்) தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையை $n - 1$ ஆகக் கொண்ட எண்கள் $n$ ஆகும்.

மறுசெய்கை தொகு

தகு வகுஎண் கூட்டுச்சார்பைத் தொடர்ந்து செயற்படுத்துவதன் மூலம் n இன் தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறையைப் (aliquot sequence) பெறலாம். இச்சார்பு கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வகுஎண் சார்பு (restricted divisor function) எனவும் அழைக்கப்படும்.^[2]

$n$ ஒரு எதிர்மமில்லா முழுவெண் எனில், அதன் தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறை:: $n, s (n), s (s (n)), \dots$ , இத் தொடர்முறையில் $s (0) = 0$ என வரையறுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.

இத்தொடர்முறையானது எப்போதும் ஒரு பகா எண், அல்லது நிறைவெண் கொண்டு முடிவடைகிறதா என்பது அறியப்படாத விவரமாகவே உள்ளது.^[3]

மேற்கோள்கள் தொகு

↑ ^1.0 ^1.1 Pollack, Paul; Pomerance, Carl (2016), "Some problems of Erdős on the sum-of-divisors function", Transactions of the American Mathematical Society, Series B, 3: 1–26, doi:10.1090/btran/10, MR 3481968
↑ Weisstein, Eric W., "Restricted Divisor Function", MathWorld.
↑ Weisstein, Eric W., "Catalan's Aliquot Sequence Conjecture", MathWorld.

வெளி இணைப்புகள் தொகு

Weisstein, Eric W., "Restricted Divisor Function", MathWorld.

[pp-1] 1.0 ^1.1 Pollack, Paul; Pomerance, Carl (2016), "Some problems of Erdős on the sum-of-divisors function", Transactions of the American Mathematical Society, Series B, 3: 1–26, doi:10.1090/btran/10, MR 3481968

[2] Weisstein, Eric W., "Restricted Divisor Function", MathWorld.

[3] Weisstein, Eric W., "Catalan's Aliquot Sequence Conjecture", MathWorld.

[1]

[2]

[3]