தொகையீடுகளின் பட்டியல்

தொகையீட்டு நுண்கணிதத்தின் ஒரு அடிப்படைச் செயல் தொகையிடல் ஆகும். சிக்கலான சார்புகளின் வகைக்கெழுவைக் கூட அதன் பகுதிகளை எளிய வகையிடல் விதிகள் கொண்டு வகையிட்டுக் காண முடியும். ஆனால் தொகையிடலில் அது எளிதல்ல என்பதால் தெரிந்த தொகையீடுகளின் பட்டியல் (list of integrals) தொகையிடலுக்குத் அவசியமாகிறது. மிகவும் அறியப்பட்ட சார்புகளின் தொகையீடுகள் (எதிர்வகையீடுகளின்) பட்டியல் கீழே தரப்பட்டுள்ளது.

எளிமையான சார்புகளின் தொகையீடுகள்-பட்டியல்

C ஆனது தொகையிடலின் குறிப்பிலா மாறிலி ஆகும். ஏதாவது ஒரு புள்ளியில் தொகையீட்டின் மதிப்பைப் பற்றித் தெரிந்தால் மட்டுமே C இன் மதிப்பைத் தீர்மானிக்க முடியும். எனவே ஒவ்வொரு சார்புக்கும் முடிவுறா எண்ணிக்கையில் தொகையீடுகள் உள்ளன.

விகிதமுறு சார்புகள்

$\int k\,dx=kx+C$

$\int x^{a}\,dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C\qquad {\text{(for }}a\neq -1{\text{)}}\,\!$

$\int (ax+b)^{n}\,dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}\,\!$

$\int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C$

பொதுவாக,

$\int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}$

$\int {\frac {c}{ax+b}}\,dx={\frac {c}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C$

அடுக்குக்குறிச் சார்புகள்

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$

$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C$

மடக்கைச் சார்புகள்

$\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C$

$\int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C$

முக்கோணவியல் சார்புகள்

$\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$

$\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C$

$\int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C=\ln {\left|\sec {x}\right|}+C$

$\int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$

$\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C$

$\int \csc {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}+\cot {x}\right|}+C$

$\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C$

$\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C$

$\int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C$

$\int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C$

$\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C$

$\int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\tan x|+C$

$\int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx$

$\int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx$

நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள்

$\int \arcsin {x}\,dx=x\arcsin {x}+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

$\int \arccos {x}\,dx=x\arccos {x}-{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

$\int \arctan {x}\,dx=x\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C$

$\int \operatorname {arccot} x\,dx=x\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2}}\ln \left|1+x^{2}\right|+C$

அதிபரவளைவுச் சார்புகள்

$\int \sinh x\,dx=\cosh x+C$

$\int \cosh x\,dx=\sinh x+C$

$\int \tanh x\,dx=\ln \cosh x+C$

$\int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C$

$\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan \,(\sinh x)+C$

$\int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C$

நேர்மாறு அதிபரவளைவுச் சார்புகள்

$\int \operatorname {arsinh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C$

$\int \operatorname {arcosh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcosh} \,x-{\sqrt {x+1}}\,{\sqrt {x-1}}+C$

$\int \operatorname {artanh} \,x\,dx=x\,\operatorname {artanh} \,x+{\frac {\ln \left(\,x^{2}-1\right)}{2}}+C$

$\int \operatorname {arcoth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcoth} \,x+{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{2}}+C$

$\int \operatorname {arsech} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsech} \,x-2\,\arctan {\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}+C$

$\int \operatorname {arcsch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsch} \,x+\operatorname {artanh} {\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}+C$

தமது இரண்டாவது வகைக்கெழுக்களுக்கு விகிதசமத்திலுள்ள சார்புகளின் பெருக்கற்பலன்

$\int \cos ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax+b\cos ax\right)+C$

$\int \sin ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax-a\cos ax\right)+C$

$\int \cos ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax\,\cosh bx+b\cos ax\,\sinh bx\right)+C$

$\int \sin ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax\,\sinh bx-a\cos ax\,\cosh bx\right)+C$

தனிமதிப்புச் சார்புகள்

$\int \left|(ax+b)^{n}\right|\,dx={(ax+b)^{n+2} \over a(n+1)\left|ax+b\right|}+C\,\,[\,n{\text{ is odd, and }}n\neq -1\,]$

$\int \left|\sin {ax}\right|\,dx={-1 \over a}\left|\sin {ax}\right|\cot {ax}+C$

$\int \left|\cos {ax}\right|\,dx={1 \over a}\left|\cos {ax}\right|\tan {ax}+C$

$\int \left|\tan {ax}\right|\,dx={\tan(ax)[-\ln \left|\cos {ax}\right|] \over a\left|\tan {ax}\right|}+C$

$\int \left|\csc {ax}\right|\,dx={-\ln \left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|\sin {ax} \over a\left|\sin {ax}\right|}+C$

$\int \left|\sec {ax}\right|\,dx={\ln \left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|\cos {ax} \over a\left|\cos {ax}\right|}+C$

$\int \left|\cot {ax}\right|\,dx={\tan(ax)[\ln \left|\sin {ax}\right|] \over a\left|\tan {ax}\right|}+C$

மேற்கோள்கள்

• M. Abramowitz and I.A. Stegun, editors. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.
• I.S. Gradshteyn (И.С. Градштейн), I.M. Ryzhik (И.М. Рыжик); Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, editors. Table of Integrals, Series, and Products, seventh edition. Academic Press, 2007. ISBN 978-0-12-373637-6. Errata. (Several previous editions as well.)
• A.P. Prudnikov (А.П. Прудников), Yu.A. Brychkov (Ю.А. Брычков), O.I. Marichev (О.И. Маричев). Integrals and Series. First edition (Russian), volume 1–5, Nauka, 1981−1986. First edition (English, translated from the Russian by N.M. Queen), volume 1–5, Gordon & Breach Science Publishers/CRC Press, 1988–1992, ISBN 2-88124-097-6. Second revised edition (Russian), volume 1–3, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2003.
• Yu.A. Brychkov (Ю.А. Брычков), Handbook of Special Functions: Derivatives, Integrals, Series and Other Formulas. Russian edition, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2006. English edition, Chapman & Hall/CRC Press, 2008, ISBN 1-58488-956-X.
• Daniel Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st edition. Chapman & Hall/CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-291-3. (Many earlier editions as well.)

வரலாற்றுச் சார்பானவை

• Meyer Hirsch, Integraltafeln, oder, Sammlung von Integralformeln (Duncker und Humblot, Berlin, 1810)
• Meyer Hirsch, Integral Tables, Or, A Collection of Integral Formulae (Baynes and son, London, 1823) [English translation of Integraltafeln]
• David Bierens de Haan, Nouvelles Tables d'Intégrales définies (Engels, Leiden, 1862)
• Benjamin O. Pierce A short table of integrals - revised edition (Ginn & co., Boston, 1899)

வெளி இணைப்புகள்

தொகையீடுகளின் அட்டவணை

• இணையத்தில் கணிதக் குறிப்புகள்-பால் (Paul)
• A. Dieckmann, Table of Integrals (Elliptic Functions, Square Roots, Inverse Tangents and More Exotic Functions): வரையறுக்கப்படாத தொகையீடுகள் வரையறுத்த தொகையீடுகள்
• Math Major: தொகையீடுகளின் ஒரு அட்டவணை பரணிடப்பட்டது 2012-10-30 at Archive.today
• O'Brien, Francis J. Jr. 500 Integrals அடுக்குக்குறி மற்றும் மடக்கைச் சார்புகளின் தருவிக்கப்பட்ட தொகையீடுகள்.
• Rule-based Mathematics துல்லியமாக வரையறுக்கப்பட்ட, வரையறுக்கப்படாத தொகையீடுகள்.

தரவீடுகள்

• V. H. Moll, The Integrals in Gradshteyn and Ryzhik

இணைய சேவை

• தொகையிடலின் எடுத்துக்காட்டுகள்-Wolfram Alpha பரணிடப்பட்டது 2011-11-30 at the வந்தவழி இயந்திரம்