பட்டகம் (வடிவவியல்)

சீர் n-கோணப் பட்டகங்கள்
சீர் அறுகோணப் பட்டகம்
வகை	சீர் பன்முகத்திண்மம் (அரையொழுங்குப் பன்முகி)
கான்வே பன்முகிக் குறியீடு	Pn
முகங்கள்	2{n} + n{4}
விளிம்புகள்	3n
உச்சிகள்	2n
இசுபாபிலிக் குறியீடு	{n}×{}^[1] அல்லது t{2, n}
கோஎக்சிட்டர் வரைபடம்
உச்சி அமைப்பு	4.4.n
சமச்சீர்மை குலம்	D_nh, [n,2], (*n22), வரிசை 4n
சுழற்சி குலம்	D_n, [n,2]⁺, (n22), வரிசை 2n
இருமப் பன்முகி	குவிவு, இருமச்-சீர் n-கோண இருபட்டைக்கூம்பு
பண்புகள்	குவிவு, ஒழுங்கு பல்கோணி முகங்கள், உச்சி-கடப்பு, பெயர்ச்சிபெற்ற அடிகள், அடிகளுக்குச் செங்குத்தான பக்கங்கள்^[2]
சீர் நவகோணப் பட்டகத்தின் வலையமைப்பு (n = 9)

வடிவவியலில் பட்டகம் (prism) என்பது, n-பக்க பல்கோணிவடிவில் ஒரு அடிப்பக்கமும், அதன் பெயர்ச்சியாகவுள்ள இரண்டாவது அடிப்பக்கமும், அவ்விரு அடிப்பக்கங்களின் ஒத்த விளிம்புகளை இணைக்கும் nஇணைகர முகங்களும் கொண்ட ஒரு பன்முகியாகும். பட்டகத்தின் அடிப்பக்கங்களுக்கு இணையாக அமையும் எல்லாக் குறுக்குவெட்டுகளும் அடிப்பக்கங்களின் பெயர்ச்சிகளாகவே இருக்கும். ஒரு பட்டகத்தின் அடிப்பக்க வடிவைக்கொண்டு அதன் பெயர் அமையும். எடுத்துக்காட்டாக, முக்கோண வடிவ அடிப்பக்கங்களைக் கொண்ட பட்டகம் முக்கோணப் பட்டகம் என்றும், ஐங்கோண அடிப்பக்கங்களைக் கொண்ட பட்டகம் ஐங்கோணப் பட்டகம் என்றும் அழைக்கப்படும். பட்டகங்கள், இணையடிப் பன்முகிகளின் ஒரு உள்வகையாகும்.

பட்டகத்தைக் குறிக்கும் ஆங்கிலச் சொல் prism (கிரேக்கம்: πρίσμα‎) என்பது முதன்முதலாக யூக்ளிட்டின் எலிமென்ட்ஸ் புத்தகத்தில் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. யூக்ளிட் தனது பதினோராவது புத்தகத்தில் பட்டகத்தை, "இரு எதிரெதிர், சம, இணை தளங்களுக்கிடையில் அமைந்த பிற பக்கவாட்டுப் பக்கங்களை இணைகரங்களாகக் கொண்ட திண்மம்" எனக் குறிப்பிடுகிறார். இக்குறிப்பில் அடிப்பக்கங்களின் தன்மைபற்றி குறிப்பாக எதுவும் சொல்லப்படவில்லை என்ற விமரிசனத்துள்ளானது.^[3]^[4]

சாய்வுப் பட்டகம் தொகு

இணைக்கும் விளிம்புகளும் பக்கவாட்டு முகங்களும் அடிப்பக்கங்களுக்குச் செங்குத்தாக இருக்கவில்லையென்றால், அப்பட்டகம் சாய்வுப் பட்டகம் (oblique prism) என்றழைக்கப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு: இணைகரத்திண்மம் ஒரு சாய்வுப் பட்டகம் ஆகும். இதன் அடிப்பக்கங்கள் இரண்டும் இணைகரங்கள். மேலும் பக்கவாட்டு முகங்களும் இணைகரங்களாகவே இருக்கும். இணைகரத்திண்மம், ஆறு பக்கங்களும் இணைகரங்களாகவுள்ள் ஒரு பன்முகியாகும்.

நேர் பட்டகம் தொகு

இணைக்கும் விளிம்புகளும் பக்கவாட்டு முகங்களும் அடிப்பக்கங்களுக்குச் செங்குத்தாக இருந்தால் அப்பட்டகம் நேர் பட்டகம் (right prism) எனப்படும்.^[2] அதாவது ஒரு பட்டக்கத்தின் எல்லாப் பக்கவாட்டு முகங்களும் செவ்வகங்களாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", அப்பட்டகம் நேர் பட்டகமாக இருக்கும்.

ஒரு நேர் n-பட்டகத்தின் இருமப் பன்முகி ஒரு நேர் n-இருபட்டைக்கூம்பு ஆகும்.

ஒழுங்கு n-கோண அடிகளைக் கொண்ட ஒரு நேர் பட்டகத்தின் இசுலாபிலிக் குறியீடு { }×{n}. n இன் மதிப்பு முடிவிலியை நெருங்கும்போது, இப்பட்டகம் உருளை வடிவை நெருங்கும்.

சிறப்பு வகைகள் தொகு

நேர் செவ்வகப் பட்டகம் (செவ்வக அடியுடையது), கனசெவ்வகம் அல்லது நடைமுறை வழக்கில் செவ்வகப் பெட்டி என்றழைக்கப்படுகிறது. நேர் செவ்வகப் பட்டகத்தின் இசுலாபிலிக் குறியீடு: { }×{ }×{ }.

நேர் சதுரப் பட்டகம் (சதுர அடி கொண்டது) கனசதுரம், அல்லது சதுரப் பெட்டி எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

சீர் பட்டகம் தொகு

சீர் பட்டகம் அல்லது சீரான பட்டகம் அல்லது அரையொழுங்கு பட்டகம் (uniform prism, semiregular prism) என்பது ஒழுங்கு பல்கோண அடிகளையும் சதுர பக்கவாட்டு முகங்களையும் கொண்ட நேர் பட்டகமாகும். சீர் பட்டகங்கள், சீர் பன்முகிகளாகும்.

ஒரு சீர் n-கோணப் பட்டகத்தின் இசுலாபிலிக் குறியீடு: t{2,n}.

ஒழுங்கு அடிப்பக்கங்களும் சமநீள விளிம்புகளுமுடைய நேர் பட்டகங்கள் அரையொழுங்கு பன்முகிகளின் இரு முடிவிலாத் தொடர்களில் ஒன்றாக அமையும். மற்றொரு தொடர் எதிர் பட்டகங்களின் தொடராகும்.

கன அளவு தொகு

ஒரு பட்டகத்தின் கனவளவானது அப்பட்டகத்தின் அடிப்பக்கத்தின் பரப்பளவு மற்றும் இரு அடிகளுக்கு இடைப்பட்ட தூரத்தின் (நேரற்ற பட்டகங்களுக்கு இத்தூரமானது செங்குத்து தூரத்தைக் குறிக்கும்) பெருக்குத்தொகைக்குச் சமமாகும்.

பட்டகத்தின் அடிப்பக்கப் பரப்பளவு B; உயரம் h எனில் அப்பட்டகத்தின் கனவளவு:

V=Bh

s - பக்க நீளமுள்ள ஒரு n-பக்க ஒழுங்கு பல்கோணி அடிகொண்ட பட்டகத்தின் கனவளவு:

V={\frac {n}{4}}hs^{2}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)

மேற்பரப்பளவு தொகு

நேர் பட்டகத்தின் மேற்பரப்பளவு அல்லது புறப்பரப்பளவு:

2B+Ph

பட்டகத்தின் அடிப்பக்கப் பரப்பளவு B; உயரம் h; P அடிப்பக்கச் சுற்றளவு.

h உயரமும் s - பக்க நீளமும் உள்ள ஒரு n-பக்க ஒழுங்கு பல்கோணி அடிகொண்ட நேர் பட்டகத்தின் மேற்பரப்பளவு:

A={\frac {n}{2}}s^{2}\cot {\left({\frac {\pi }{n}}\right)}+nsh

நாள்மீன் பட்டகம் தொகு

நாள்மீன் பட்டகம் (star prism) என்பது ஒரு குவிவிலாப் பன்முகி. இதன் இரு அடிப்பக்கங்களும் முற்றொத்த இரு நாள்மீன் பல்கோணிகளாக இருக்கும். அவையிரண்டும் குறிப்பிட்ட தொலைவில் அமைந்து செவ்வக முகங்களால் இணைக்கப்பட்டிருக்கும். ஒரு சீர் நாள்மீன் பட்டகத்தின் இசுலாபிலிக் குறியீடு: {p/q} × { }, (p செவ்வங்களும் 2 {p/q} முகங்களும்). இது இடவியலாக p-கோண பட்டகத்துக்கு முற்றொத்ததாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்
{ }×{ }₁₈₀×{ }	t_a{3}×{ }		{5/2}×{ }	{7/2}×{ }	{7/3}×{ }	{8/3}×{ }
D_2h, வரிசை 8	D_3h, வரிசை 12		D_5h, வரிசை 20	D_7h, வரிசை 28		D_8h, வரிசை 32

மேற்கோள்கள் தொகு

↑ Norman Johnson (mathematician): Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3b
↑ ^2.0 ^2.1 William F. Kern, James R. Bland, Solid Mensuration with proofs, 1938, p.28
↑ Thomas Malton (1774). A Royal Road to Geometry: Or, an Easy and Familiar Introduction to the Mathematics. ... By Thomas Malton. .... author, and sold. பக். 360–. https://books.google.com/books?id=-3tLfuCB97AC&pg=PA360.
↑ James Elliot (1845). Key to the Complete Treatise on Practical Geometry and Mensuration: Containing Full Demonstrations of the Rules .... Longman, Brown, Green, and Longmans. பக். 3–. https://books.google.com/books?id=qilLAAAAYAAJ&pg=PA3.

Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-520-03056-7. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms

வெளியிணைப்புகள் தொகு

Weisstein, Eric W., "Prism", MathWorld.
Paper models of prisms and antiprisms Free nets of prisms and antiprisms
Paper models of prisms and antiprisms Using nets generated by Stella

[1] Norman Johnson (mathematician): Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3b

[:0-2] 2.0 ^2.1 William F. Kern, James R. Bland, Solid Mensuration with proofs, 1938, p.28

[Malton1774-3] Thomas Malton (1774). A Royal Road to Geometry: Or, an Easy and Familiar Introduction to the Mathematics. ... By Thomas Malton. .... author, and sold. பக். 360–. https://books.google.com/books?id=-3tLfuCB97AC&pg=PA360.

[Elliot1845-4] James Elliot (1845). Key to the Complete Treatise on Practical Geometry and Mensuration: Containing Full Demonstrations of the Rules .... Longman, Brown, Green, and Longmans. பக். 3–. https://books.google.com/books?id=qilLAAAAYAAJ&pg=PA3.

[1]

[2]

[3]

[4]