பதின்ம உருவகிப்பு

கணிதத்தில் ஒரு எதிர்மமிலா மெய்யெண் r இன் பதின்ம உருவகிப்பு (decimal representation தொடராக அமைகின்ற ஒரு கோவையாகும்:

$r=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}}$

இதில்

a₀ ஒரு எதிர்மமிலா முழு எண்.

a₁, a₂, ... என்பன 0 ≤ a_i ≤ 9 என்ற கட்டுப்பாட்டுக்குட்பட்ட முழுஎண்கள். இவை பதின்ம உருவகிப்பின் இலக்கங்கள் எனப்படும். இந்த இலக்கங்களின் தொடர் ஒரு முடிவுறு தொடராக இருக்கலாம். அவ்வாறு முடிவுறு தொடராக இருந்தால், ஏனைய a_iகள், பூச்சியமாக எடுத்துக்கொள்ளப்படும்.

சில கணிதவியலாளர்கள் ஒரு பதின்ம உருவகிப்பை நீளும் "9"களைக் கொண்ட முடிவுறா தொடராக எழுதுவதை ஏற்பதில்லை.. இவர்களது கருத்தால், ஒவ்வொரு எதிர்மமில்லா மெய்யெண்ணுக்கும் ஒரு தனித்த பதின்ம உருவகிப்புக் கொண்டதாக இருக்கும்.

பதின்ம உருவகிப்பில் ஒரு எண்ணைக் கீழுள்ளவாறும் சுருக்கமாக எழுதலாம்:

$r=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\dots .\,$

இதில்,

r இன் முழுஎண் பகுதி a₀. இதன் மதிப்பு 0 இலிருந்து 9 வரைக்குள் இருக்க வேண்டுமென்பதில்லை.

a₁, a₂, a₃, ... இலக்கங்கள் r இன் பின்னப் பகுதியைக் குறிப்பவை ஆகும். இவற்றின் மதிப்பு 0 இலிருந்து 9 வரைக்குள் மட்டுமே இருக்கும்.

மேலே தரப்பட்டுள்ள இருவகைகளும் ஒரு தொடர்வரிசையின் எல்லையாக அமைகின்றன:

$r=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}$.

முடிவுறு பதின்மத் தோராயங்கள்

எந்தவொரு மெய்யெண்ணையும், முடிவுறு பதின்ம உருவகிப்புகள் கொண்ட விகிதமுறு எண்கள் மூலம் தேவையான துல்லிய அளவுக்குத் தோராயப்படுத்தலாம்.

$x\geq 0$ ஒரு மெய்யெண்; முழுஎண் $n\geq 1$ எனில்,

$r_{n}\leq x<r_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}.\,$ என்பதை நிறைவு செய்யும் வகையில் $r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ என்ற ஒரு முடிவுறு பதின்மம் இருக்கும்.

நிறுவல்:

$r_{n}=\textstyle {\frac {p}{10^{n}}},$ $p=\lfloor 10^{n}x\rfloor$.

$p\leq 10^{n}x<p+1$,

$10^{n}$ ஆல் வகுக்க:

${\frac {p}{10^{n}}}\leq x<{\frac {p+1}{10^{n}}}$

${\frac {p}{10^{n}}}\leq x<{\frac {p}{10^{n}}}+{\frac {1}{10^{n}}}$

${\frac {p}{10^{n}}}=r_{n}$ எனப் பதிலிட:

$r_{n}\leq x<r_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}.\,$

பதின்ம உருவகிப்பு தனித்தன்மை கொண்டதல்ல

முதன்மைக் கட்டுரை: 0.999...

சில மெய்யெண்கள் இருவிதமான முடிவுறா பதின்ம உருவகிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு: 1 = 1.000... = 0.999...

9களைக் கொண்ட அமைப்பைவிட, பூச்சிய இலக்கங்கள் கொண்ட உருவகிப்பே அதிகம் கையாளப்படுகிறது.

முடிவுறு பதின்ம உருவகிப்புகள்

ஒரு எதிர்மமிலா மெய்யெண் x ஆனது, ஒரு விகிதமுறு எண்ணாகவும் அதன் பகுதி 2ⁿ5^m ஆகவும் (m , n எதிர்மமிலா முழுஎண்கள்) இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, x இன் பதின்ம உருவகிப்பானது பூச்சியங்கள் அல்லது 9 களைக் கொண்டு முடிவடையும்.

நிறுவல்: x இன் பதின்ம விரிவு பூச்சியங்களில் முடிவடைகிறது எனில்:

$x=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}$

இதில் x இன் பகுதியான 10ⁿ = 2ⁿ5ⁿ வடிவில் அமைகிறது.

மறுதலையாக x இன் பகுதி 2ⁿ5^m வடிவில் அமைந்தால் அதன் பதின்ம விரிவு பூச்சியங்களில் முடிவடையும் என்பதையும் நிறுவலாம்.

மீளும் பதின்ம உருவகிப்புகள்

முதன்மைக் கட்டுரை: மீளும் தசமங்கள்

சில மெய்யெண்களின் பதின்ம உருவகிப்புகள் முடிவில்லாத, ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட மீளும் இலக்கங்களைக் கொண்டதாக அமையும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

¹/₃ = 0.33333...

¹/₇ = 0.142857142857...

¹³¹⁸/₁₈₅ = 7.1243243243...

இவ்வாறு மீளும் பதின்ம அமைப்புடைய மெய்யெண்கள், விகிதமுறு எண்களாக இருக்கும். இதன் மறுதலையும் மெய்யாகும். அதாவது எந்தவொரு விகிதமுறு எண்ணின் பதின்ம வடிவமானது முடிவுறு பதின்மம் அல்லது முடிவிலா, மீளும் பதின்மமாகும்.

மேற்கோள்கள்

• Decimal Expansion, From MathWorld
• Tom Apostol (1974). Mathematical analysis (Second ). Addison-Wesley. https://archive.org/details/mathematicalanal02edtomm. 

இவற்றையும் பார்க்க

• பதின்மம்
• தொடர் (கணிதம்)

வெளியிணைப்புகள்

• Decimal Representation of Rational Numbers பரணிடப்பட்டது 2016-03-07 at the வந்தவழி இயந்திரம்