பல்லுறுப்புக்கோவை அணி

கணிதத்தில் பல்லுறுப்புக்கோவை அணி (polynomial matrix) என்பது ஒரு மாறியில் அல்லது பல மாறிகளில் அமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளை உறுப்புக்களாகக் கொண்ட அணியாகும். λ இன் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை உறுப்புகளாகக் கொண்ட அணியானது λ-அணி என அழைக்கப்படும்.

p படியில், ஒருமாறியிலமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவை அணி P இன் வரையறை:

$P=\sum _{n=0}^{p}A(n)x^{n}=A(0)+A(1)x+A(2)x^{2}+\cdots +A(p)x^{p}$

இந்த வரையறையில்,

$A(i)$ என்பது மாறிலி கெழுக்களாலான அணி;

$A(p)$, பூச்சியமற்றது.

எனவே ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை அணி என்பது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் அணிச்-சமானம் ஆகும். அந்த அணியின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் p படியிலமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவை என்பதற்குரிய வரையறையை நிறைவு செய்யும்.

இரண்டாம் படியிலமைந்த 3×3 பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு:

$P={\begin{pmatrix}1&x^{2}&x\\0&2x&2\\3x+2&x^{2}-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&2\\2&-1&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&2&0\\3&0&0\end{pmatrix}}x+{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}x^{2}.$

பண்புகள்

• ஒரு களத்திலமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவை அணியின் அணியின் அணிக்கோவை மதிப்பானது அக்களத்தின் பூச்சியமற்ற உறுப்பொன்றுக்குச் சமமாக இருந்தால் அந்த பல்லுறுப்புக்கோவை அணியானது அலகுமட்டுடைய அணி (unimodular matrix) எனப்படும். மேலும் அந்த அணி ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க அணியாக இருக்கும்; அதன் நேர்மாறு அணியும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை அணியாக இருக்கும்.
• சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை அணியின் மூலங்கள், அந்த அணி அதன் அளவையை இழக்கும் சிக்கலெண் தளப்புள்ளிகளில் அமையும்.
• ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலில் ஒரேயொரு பூச்சியமற்ற உறுப்பைக் கொண்ட பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வரிசைமாற்ற அணியுடன் பல்லுறுப்புக்கோவை அணியைக் குழப்பைக்கொள்ளக் கூடாது.
• λ என்பது அணி அமைக்கப்படும் களத்தின் ஏதேனுமொரு உறுப்பு; I என்பது முற்றொருமை அணி; A பல்லுறுப்புக்கோவை அணி எனில், λI − A என்பது A அணியின் சிறப்பியல்பு அணி ஆகும். அதன் அணிக்கோவையான |λI − A| ஆனது A இன் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாகும்.

மேற்கோள்கள்

• E.V.Krishnamurthy, Error-free Polynomial Matrix computations, Springer Verlag, New York, 1985

வெளியிணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W. "Polynomial Matrix." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolynomialMatrix.html