முழுக்கோப்பு

$f:X\rightarrow Y$ என்ற ஒரு கோப்பில் / சார்பில் ஒவ்வொரு $y\in Y$ க்கும் $f(x)=y$ ஆக இருக்கும்படி குறைந்த பட்சம் ஒரு $x\in X$ ஆவது இருக்குமானால் அக்கோப்பு/சார்பு முழுக்கோப்பு (Surjection) அல்லது முழுக்கோப்புடைய சார்பு (Surjective function) எனப்படும். வேறு விதமாகச்சொன்னால் ஒவ்வொரு $y\in Y$ க்கும் $X$ இல் ஒரு முன்னுரு உள்ளது.

முழுக்கோப்பு; உள்ளிடுகோப்பல்ல

உள்ளிடுகோப்பு; முழுக்கோப்பல்ல

இருவழிக்கோப்பு.

ஒரு முழுக்கோப்பு உள்ளிடுகோப்பாகவும் இருந்துவிட்டால், அது இருவழிக்கோப்பு எனப்படும்.

துல்லியமான வரையறை

$f$ என்பது $X$ இலிருந்து $Y$ க்குப்போகும் ஒரு கோப்பு/சார்பு எனக்கொள்வோம்.

$f$ ஒரு முழுக்கோப்பு எனப்படுவதற்கு இலக்கணம்:

$\forall y\in Y,\,\exists x\in X,\ \backepsilon f(x)=y$ .

முழுக்கோப்பின் வீச்சும் இணையாட்களமும் சமமாக இருக்கும்.

உலகவழக்கில் ஒரு எடுத்துக்காட்டு

சுற்றுலாப்பயணிகளின் கூட்டமொன்று இராத்தங்க, எல்லா அறைகளும் காலியாக இருக்கும் ஒரு விடுதியில் வந்து சேருகின்றனர். பயணிகளுக்கு அறைகள் வழங்கும் முறையை ஒருகோப்பாக விவரிக்கலாம்.(பயணிகள் கணம்: X ; அறைகள் கணம்: Y.)

ஒவ்வொரு அறையும் நிரப்பப்படவேண்டுமென்றால், பயணிகளின் எண்ணிக்கை அறைகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது. அப்பொழுது ஒவ்வோரு அறையிலும் குறைந்த பட்சம் ஒரு பயணியாவது இருப்பர். இது முழுக்கோப்பு (surjective map; surjection; onto map).

ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கவேண்டுமென்றால், அறைகளின் எண்ணிக்கை பயணிகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது.அப்பொழுது ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். இது உள்ளிடுகோப்பு (injective map; injection; one-one map).

பயணிகளின் எண்ணிக்கையும் அறைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இருந்தால், ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். ஒரு அறையும் காலியாக இருக்காது. இது இருவழிக்கோப்பு (bijective map; bijection; one-one onto map). அதாவது, இது உள்ளிடுகோப்பு, முழுக்கோப்பு ஆகிய இரு பண்புகளையும் கொண்டது.

கணித எடுத்துக்காட்டுகளும் மாற்றுக்காட்டுகளும்

மெய்யெண் சார்புகள்:

• $f:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R}$

$f(x)=x^{2}$

இது முழுக்கோப்பல்ல. ஏனென்றால்,எடுத்துக்காட்டாக, $f(x)=-4$ க்குச்சரியான $x$ கிடையாது., ஆனால் நாம் வரையறையை மாற்றி எழுதலாம். அதாவது, இணையாட்களத்தை $\mathbf {R} ^{+}$ ஆகக்கொண்டால், அது முழுக்கோப்பாகும்.

• $f:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R}$

$f(x)=2x-1$

இது ஒரு முழுக்கோப்பு. ஏனென்றால் எந்த மெய்யெண் $y$ க்கும் $y=2x-1$ என்ற சமன்பாட்டைத்தீர்வு செய்து, $x=(y+1)/2$ என்று கண்டுபிடிக்கமுடியும். இதனால் $\mathbf {R}$ இலுள்ள எல்லாமெய்யெண்ணுக்கும் ஒரு முன்னுரு உள்ளது.

• $g:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R}$

$f(x)=(cosx)^{2}$

இது முழுக்கோப்பல்ல. ஏனென்றால், எடுத்துக்காட்டாக, $f(x)=-1$ க்கு சரியான $x$ கிடையாது.

• $h:\mathbf {R} \rightarrow [0,1]$

$h(x)=(cosx)^{2}$

இது முழுக்கோப்பாகும். ஏனென்றால், [0,1] இலுள்ள ஒவ்வொரு $y$ க்கும் $cos^{-1}(\surd {y}),$ மற்றும் $cos^{-1}(-\surd {y})$ என்ற இரண்டு முன்னுருக்கள் கிடைக்கின்றன.

• $f:\mathbf {N} \rightarrow \mathbf {R}$

இந்த $f$ எப்படி வரையறுக்கப்பட்டாலும் அது முழுக்கோப்பாக முடியாது. ஏனென்றால் வீச்சுக்கணம் = $\{f(1),f(2),f(3),...\}$; இதனுடைய எண்ணளவை $\mathbf {R}$ இன் எண்ணளவையைவிட ச் சிறியது.

சில விளைவுகள்

சேர்வை முழுக்கோப்பு: ஆனாலும் முதல் கோப்பு முழுக்கோப்பல்ல.

• $f:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R}$ ஒரு முழுக்கோப்பானால் அதனுடைய வரைவு எல்லா கிடைக்கோடுகளையும் வெட்டும்.
• $f:Y\rightarrow Z$; $g:X\rightarrow Y$

$f\circ g$: $X\rightarrow Z$ முழுக்கோப்பானால் $f$ முழுக்கோப்பாக இருக்கவேண்டும். $g$ முழுக்கோப்பாக இருக்கவேண்டிய தில்லை. (படிமம் பார்க்கவும்)

• $f,g$ இரண்டுமே முழுக்கோப்பானால் $f\circ g$ முழுக்கோப்பாகும்.
• $f:X\rightarrow Y$ ஒரு முழுக்கோப்பானால், ஒவ்வொரு உட்கணம் $B\subset Y$ க்கும்,

$f(f^{-1}(B))=B$.

• ஒரு சார்பு வலது நீக்கலைக் கொண்டிருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அது முழுக்கோப்பாக இருக்கும்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• இருவழிக்கோப்பு
• உள்ளிடுகோப்பு

நூலாதாரம்

• Nicolas Bourbaki (2004). Theory of Sets. Elements of Mathematics. 1. Springer. doi:10.1007/978-3-642-59309-3. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-3-540-22525-6. https://books.google.com/books?id=7eclBQAAQBAJ&pg=PR1.