விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி

நேரியல் இயற்கணிதத்தில் விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி அல்லது மிகை அணி (augmented matrix) என்பது எடுத்துக்கொள்ளப்படும் இரு அணிகளின் நிரல்களை சேர்த்து எழுதுவதன் மூலம் பெறப்படும் அணியாகும்.

எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட அணிகள் A , B எனில் அவற்றின் விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியின் குறியீடு $(A|B)$ அல்லது $[A,B]$:

எடுத்துக்காட்டு: $A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&0&1\\5&2&2\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}4\\3\\1\end{bmatrix}},$

இவற்றின் விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி:

$[A,B]=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&3&2&4\\2&0&1&3\\5&2&2&1\end{array}}\right].$

நேரியல் சமன்பாடுகளின் தொகுப்புகளின் தீர்வு காணும்போது மிகை அணி பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

தரப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான மாறிகளிலமைந்த நேரியல் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பின் தீர்வுகளின் எண்ணிக்கை அச்சமன்பாட்டுத் தொகுப்புக்குரிய கெழு அணி, அத்தொகுப்பின் விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி ஆகியவற்றின் தரத்தைப் பொறுத்து அமையும்.

ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டுத் தொகுதியின்

• விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியின் தரமும் கெழு அணியின் தரமும் சமமாக இல்லையெனில், சமன்பாட்டுத் தொகுதியானது ஒருங்கிசைவு இல்லாதது; அச்சமன்பாட்டுத் தொகுதிக்குத் தீர்வுகளே கிடையாது.
• விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியின் தரமும் கெழு அணியின் தரமும் சமமாக இருப்பதோடு, அச்சமன்பாட்டுத் தொகுதியின் மாறிகளின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமாகவும் இருந்தால் சமன்பாட்டுத் தொகுதி ஒருங்கிசைவானது; மேலும் ஒரேயொரு தனித்த தீர்வு கொண்டிருக்கும்.
• விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியின் தரமும் கெழு அணியின் தரமும் சமமாக இருந்து, சமன்பாட்டுத் தொகுதியின் மாறிகளின் எண்ணிக்கையைவிடச் சிறியதாக இருந்தால் அச்சமன்பாட்டுத் தொகுதி ஒருங்கிசைவானது; ஆனால் எண்ணற்றத் தீர்வுகளை உடையது.

விரிவுபடுத்த அணியை முற்றொருமை அணியுடன் சேர்த்து பயன்படுத்துவதன் மூலம் ஒரு அணியின் நேர்மாறு அணியைக் காணமுடியும்.

பயன்கள்

நேர்மாறு அணி காண

$C={\begin{bmatrix}1&3\\-5&0\end{bmatrix}}.$

இவ்வணியுடன் 2×2 முற்றொருமை அணி I ஐச் சேர்க்கப்பட்ட விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [C , I]

எளிய நிரை உருமாற்றங்களைக் கொண்டு [C , I] அணியின் C பகுதியை முற்றொருமை அணியாக மாற்றினால் கிடைக்கும் விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [I, C^-1] ஆகக் கிடைக்கும்.

$(C|I)=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\-5&0&0&1\end{array}}\right]$

$(I|C^{-1})=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&0&0&-{\frac {1}{5}}\\0&1&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\end{array}}\right]$

இதில் வலப்பகுதி மூல அணியின் நேர்மாறு அணியாகும்.

$C^{-1}=\left[{\begin{array}{cc|cc}0&-{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\end{array}}\right]$

நேரியல் சமன்பாட்டுத் தொகுதியின் தீர்வுகளின் எண்ணிக்கை

எடுத்துக்காட்டு 1:

நேரியல் சமன்பாட்டுத் தொகுதி:

x + y + 2z = 3

x + y + z = 1

2x + 2y + 2z = 2.

இச்சமன்பாட்டுத் தொகுதியின் கெழு அணி:

$A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},$

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி:

$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&2\end{array}}\right].$

கெழு அணியின் தரமும் விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியின் தரமும் சமமாக (2) உள்ளது. மேலும் தரத்தின் அளவு சமன்பாட்டுத் தொகுதியின் தெரியாமாறிகளின் எண்ணிக்கையான 3 ஐ விடச் சிறியது என்பதால் இத்தொகுதி முடிவிலாத் தீர்வுகளுடையது.

எடுத்துக்காட்டு 2:

நேரியல் சமன்பாட்டுத் தொகுதி:

x + y + 2z = 3

x + y + z = 1

2x + 2y + 2z = 5.

கெழு அணி:

$A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},$

கெழு அணியின் தரம் 2.

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி:

$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&5\end{array}}\right].$

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியின் தரம் 3.

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியின் தரமானது, கெழு அணியின் தரத்தைவிடப் பெரியது என்பதால் இச்சமன்பாட்டுத் தொகுதிக்குத் தீர்வுகளே கிடையாது. அதாவது இச்சமன்பாட்டுத் தொகுதி ஒருங்கிசைவற்றது.

நேரியல் சமன்பாட்டுத் தொகுதியின் தீர்வு காணல்

நேரியல் சமன்பாட்டுத் தொகுதி:

${\begin{aligned}x+2y+3z&=0\\3x+4y+7z&=2\\6x+5y+9z&=11\end{aligned}}$

கெழு அணியும் மாறிலிகளின் அணியும்:

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&4&7\\6&5&9\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}0\\2\\11\end{bmatrix}},$

கெழு அணியின் தரம் 3.

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி:

$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&3&0\\3&4&7&2\\6&5&9&11\end{array}}\right]$.

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியின் தரம் 3.

கெழு அணியின் தரமும் விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியின் சமம் என்பதால் சமன்பாட்டுத் தொகுதிக்கு குறைந்தபட்சம் ஒரு தீர்வாவது இருக்கும். மேலும் இரண்டின் தரமும் சமமாக மட்டுமல்லாது மாறிகளின் எண்ணிக்கைக்கும் (3) சமமாக இருப்பதால் இச்சமன்பாட்டுத் தொகுதிக்கு ஒரேயொரு தீர்வு மட்டுமே இருக்கும்.

எளிய நிரை உருமாற்றங்கள் மூலம் விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியின் இடப்பகுதியை முற்றொருமை அணியாக மாற்ற, வலப்பகுதி தொகுதியின் தீர்வைத் தரும்:

$\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&4\\0&1&0&1\\0&0&1&-2\\\end{array}}\right],$

சமன்பாட்டுத் தொகுதியின் தீர்வு: (x, y, z) = (4, 1, -2).

மேற்கோள்கள்

• Marvin Marcus and Henryk Minc, A survey of matrix theory and matrix inequalities, Dover Publications, 1992, ISBN 0-486-67102-X. Page 31.