சுழற்சி அணி

நேரியல் இயற்கணிதத்தில், ஒரு சுழற்சி அணி (Rotation matrix) என்பது யூக்ளிடியன் வெளியில் ஒரு சுழற்சியைச் செய்யப் பயன்படும் ஒரு உருமாற்ற அணி ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக,

$R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}$

இரு பரிமாண கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையின் ஆதிப் புள்ளியை பொறுத்து xy தளத்தில் புள்ளிகளை θ கோணத்தில் (இடது பக்கமாக) சுழற்றுகிறது. நிலையான ஆயங்கள் v = (x, y) கொண்ட ஒரு தளப் புள்ளியில் சுழற்சியைச் செய்ய, அது ஒரு நெடுவரிசை திசையனாக எழுதப்பட்டு, அணி R ஆல் பெருக்கப்பட வேண்டும்:

$R\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\cos \theta -y\sin \theta \\x\sin \theta +y\cos \theta \end{bmatrix}}.$

x மற்றும் y என்பது ஒரு திசையனின் இறுதிப்புள்ளி ஆயங்களாக இருந்தால், x என்பது cosine மற்றும் y என்பது sine என்றால், மேலே உள்ள சமன்பாடுகள் முக்கோணவியல் கூட்டுத்தொகை கோண சூத்திரங்களாக மாறும். உண்மையில், ஒரு சுழற்சி அணியை அணி வடிவத்தில் திரிகோணவியல் கூட்டுத்தொகை கோண சூத்திரங்களாகக் காணலாம். இதைப் புரிந்துகொள்வதற்கான ஒரு வழி என்னவென்றால், x அச்சில் இருந்து 30° கோணத்தில் ஒரு திசையன் உள்ளது, மேலும் அந்தக் கோணத்தை மேலும் 45° ஆல் சுழற்ற விரும்புகிறோம். நாம் திசையெண் முடிகின்ற இடத்தில் ஆயங்களை 75° இல் கணக்கிட வேண்டும்.

இந்தக் கட்டுரையில் உள்ள எடுத்துக்காட்டுகள், வலது கை ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ( y x இலிருந்து எதிரெதிர் திசையில்) முன் பெருக்கத்தால் (இடதுபுறத்தில் R ) திசையன்களின் செயலில் உள்ள சுழற்சிகளுக்குப் பொருந்தும். இவற்றில் ஏதேனும் ஒன்று மாற்றப்பட்டால் (திசையன் பதிலாக சுழலும் அச்சுகள், ஒரு செயலற்ற மாற்றம் போன்றவை), அதன் இடமாற்றத்துடன் ஒத்துப்போகும் உதாரண மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழ் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும்.

அணி பெருக்கல் பூஜ்ஜிய திசையன் (தோற்றத்தின் ஆயத்தொலைவுகள்) மீது எந்த விளைவையும் ஏற்படுத்தாது என்பதால், சுழற்சி அணிகள் தோற்றம் பற்றிய சுழற்சிகளை விவரிக்கின்றன. சுழற்சி அணி அத்தகைய சுழற்சிகளின் இயற்கணித விளக்கத்தை வழங்குகின்றன, மேலும் அவை வடிவியல், இயற்பியல் மற்றும் கணினி வரைகலை ஆகியவற்றில் கணக்கீடுகளுக்கு பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. சில இலக்கியங்களில், சுழற்சி என்ற சொல் முறையற்ற சுழற்சிகளை உள்ளடக்கியதாக பொதுமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது, இது −1 (+1 க்கு பதிலாக) அணிக்கோவை கொண்ட செங்குத்து அணிகளாக வகைப்படுத்தப்படுகிறது. இவை சரியான சுழற்சிகளை பிரதிபலிப்புகளுடன் இணைக்கின்றன (இது திசைதிருப்பலை மாற்றுகிறது ).

சுழற்சி அணிகள் என்பது மெய் எண்கள் உள்ளீடுகளை கொண்ட சதுர அணிகள் . இன்னும் குறிப்பாக, அவை அணிக்கோவையுடன் கூடிய செங்குத்து அணிகளாக வகைப்படுத்தப்படலாம். அதாவது, சதுர அணி R என்பது R^T = R⁻¹ மற்றும் det R = 1 எனில் மட்டுமே சுழற்சி அணி ஆகும்.