சைன் விதி

சைன் விதி எனப்படுவது திரிகோண கணிதத்திலும் ஏனைய முக்கிய கணிப்புக்களிலும் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு விதியாகும். இது முக்கோணமொன்றின் பக்கங்களுக்கும், அதன் கோணங்களின் சைன் பெறுமதிகளுக்கும் இடையிலான தொடர்பைக் காட்டுகிறது.

விதி

சைன் விதியை விளக்கும் முக்கோணி

யாதுமொரு முக்கோணி ABCயில்,

${\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}$ ஆகும்.

நிறுவல்

கூர்ங்கோண முக்கோணி

கூர்ங்கோண முக்கோணியில் சைன் விதி

இம்முக்கோணியில் செங்குத்துயரம் hஐச் சமப்படுத்தினால்,

$asinB=bsinA$

ஆகவே,

${\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,$

A உச்சியிலிருந்து செங்கோடு வரைந்து அதன் மதிப்புகளை இதே வகையில் கண்டறிந்து சமப்படுத்தினால்

$csinB=bsinC$

ஆகவே,

${\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,$

இவை இரண்டையும் இணைத்தால்

${\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}$ என முழுமையான சைன் விதி நிறுவப்படும்.

விரிகோண முக்கோணி

விரிகோண முக்கோணியில் சைன் விதி

இம்முக்கோணியில் செங்குத்துயரத்தைச் சமப்படுத்தினால்,

$asin(180-B)=bsinA$

$asinB=bsinA$

ஆகவே,

${\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,$

A உச்சியிலிருந்து செங்கோடு வரைந்து அதன் மதிப்புகளை இதே வகையில் கண்டறிந்து சமப்படுத்தினால்

$csinB=bsinC$ எனக் கிடைக்கும்.

ஆகவே,

${\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,$

இவை இரண்டையும் இணைத்தால்

${\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}$ என முழுமையான சைன் விதி விரிகோண முக்கோணத்துக்கும் நிறுவப்படும்.

சுற்றுவட்டத்துடன் தொடர்பு

சைன் விதியின் விகிதங்களின் பொதுமதிப்பு சுற்றுவட்டத்தின் விட்டத்திற்குச் சமமென வருவித்தலுக்கான படம்.

$${\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}},$$ என்ற முற்றொருமையின் மூன்று சமவிகிதங்களின் பொதுமதிப்பு முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் விட்டத்திற்குச் சமமாக இருக்கும். இந்த முடிவு கணிதவியலாளர் தொலெமி காலத்திலேயே அறியப்பட்டிருந்தது.

நிறுவல்

$\triangle ABC$ இன் சுற்றுவட்டம் வரையப்பட்டுள்ளது. சுற்றுவட்ட மையம் O வழிச் செல்லும் முக்கோணம் $\triangle ADB$ இன் சுற்றுவட்டமாகவும் இதே வட்டம் உள்ளது.

$\angle ABD=90^{\circ }$ (அரைவட்டக் கோணம்)

இப்போது $\triangle ABD$ முக்கோணம் ஒரு செங்கோண முக்கோணம். எனவே

$$\sin {\delta }={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {c}{2R}},$$ $R={\frac {d}{2}}$ = சுற்றுவட்ட ஆரம்

${\gamma }={\delta }$ (ஒரே வட்ட வில் தாங்கும் கோணங்கள் சமம்) என்பதால்

$$\sin {\delta }=\sin {\gamma }={\frac {c}{2R}}.$$

இதனை மாற்றியமைக்க: $$2R={\frac {c}{\sin {\gamma }}}.$$

$\triangle ADB$ முக்கோணத்தைப்போல மற்ற இரு முக்கோண உச்சிகளைக் கொண்டு கண்டுபிடித்தால் சைன் விதியின் மூன்று விகிதங்களும் $2R$ க்குச் சமமாக இருப்பதைக் காணலாம். எனவே:

${\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}=2R.$

முக்கோணத்தின் பரப்பளவுடன் தொடர்பு

முக்கோணத்தின் பரப்பளவு வாய்பாடு

${\textstyle T={\frac {1}{2}}ab\sin \theta }$; a, b முக்கோணத்தின் எவையேனும் இரு பக்கங்கள்; அப்பக்கங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் $\theta$ .

$\sin \theta$ இன் மதிப்பை சைன் விதியின் சுற்றுவட்ட ஆரம் $R$ உடனுள்ள தொடர்பு வாய்பாட்டிலிருந்து பதிலிட:

$$T={\frac {1}{2}}ab\cdot {\frac {c}{2R}}.$$

$T={\frac {abc}{4R}}.$

இதிலிருந்து மேலும் பெறக்கூடிய வாய்பாடுகள்:

$${\begin{aligned}{\frac {abc}{2T}}&={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[6pt]&={\frac {2abc}{\sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}},\end{aligned}}$$; T = முக்கோணத்தின் பரப்பளவு, s ${\textstyle s={\frac {a+b+c}{2}}.}$ = முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு

இரண்டாவது வாய்பாட்டை முக்கோணப் பரப்பளவுக்கான ஈரோனின் வாய்பாடாக சுருக்கலாம்.

சைன் விதியைக் கொண்டு கீழ்வரும் முக்கோணப் பரப்பளவிற்கான வாய்பாட்டைப் பெறலாம்: ${\textstyle S={\frac {\sin A+\sin B+\sin C}{2}}}$ = முக்கோணத்தின் கோணங்களின் சைன்மதிப்புகளின் அரைக்கூட்டுத்தொகை என்க. இப்பொழுது முக்கோணப் பரப்பளவிற்கான வாய்பாடு:

$T=4R^{2}{\sqrt {S\left(S-\sin A\right)\left(S-\sin B\right)\left(S-\sin C\right)}}$

. ($R$ முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்ட ஆரம்; ${\textstyle 2R={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}$.)

கோள சைன் விதி

ஒரு கோளத்தின் பெருவட்டங்களின் விற்களைப் பக்கங்களாகக் கொண்டு அக்கோளத்தின் மீதமையும் முக்கோணங்கள் கோள முக்கோணங்களாகும்.

ஓரலகு ஆரமுள்ள கோளத்தின் மீதமைந்த முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் a, b, c எனில் இம்மூன்று அளவுகளும் முக்கோணத்தின் அமையும் மூன்று பெருவட்ட விற்களானது கோளமையத்தில் தாங்கும் கோண அளவுகளாக (ரேடியனில்) இருக்கும். இம்மூன்று பக்கங்களுக்கும் எதிருள்ள உச்சிக்கோணங்கள் முறையே A, B, C எனில் கோள சைன்விதி:

${\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.$

கோள முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் கோளத்தின் ஆரத்தைவிட மிகச் சிறியதாக இருக்கும்போது இவ்விதியானது கிட்டத்தட்ட தள முக்கோணவியலின் சைன் விதியை ஒத்திருக்கும்.

நிறுவல்

சைன் விதியின் நிறுவல் கீழுள்ளவாறு டோதுந்தேரின் நூலில் உள்ளது. (Art.40).

$\sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A$ முற்றொருமையில் கோள கொசைன் விதியிலிருந்து பெறப்பட்ட $\cos A$ மதிப்பைப் பதிலிட:

${\begin{aligned}\sin ^{2}A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {(1-\cos ^{2}b)(1-\cos ^{2}c)-(\cos a-\cos b\cos c)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[5pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}$

இம்முடிவின் வலப்பக்க மதிப்பில் $a,\;b,\;c$ இன் வட்ட வரிசைமாற்றத்தால் எந்தவொரு மாற்றமும் இருக்காது. எனவே

${\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}$.

${\frac {\sin C}{\sin c}}={\frac {[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}$.

ஃ${\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.$ என நிறுவப்படுகிறது.

திசையன் நிறுவல்

அலகு கோளத்தின் மையம் O இலிருந்து முக்கோணத்தின் உச்சிகளுக்கு வரைப்பட்ட திசையன்கள்: OA, OB, OC. BC வில்லானது கோளமையத்தில் தாங்கும் கோணத்தின் அளவு a. OA ஐ z-அச்சிலும், xz-தளத்தில் OB ஆனது z-அச்சுடன் உருவாக்கும் கோணம் c எனவும் கொண்டு ஒரு கார்ட்டீசியன் அடுக்களத்தை எடுத்துக்கொள்ள, xy- தளத்தில் OC இன் வீழல் ON ஆகவும், ON, x-அச்சுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் A ஆகவும் இருக்கும். எனவே OA, OB, OC திசையன்களின் கூறுகள் பின்னுள்ளவாறு அமையும்:

$$\mathbf {OA} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OB} ={\begin{pmatrix}\sin c\\0\\\cos c\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OC} ={\begin{pmatrix}\sin b\cos A\\\sin b\sin A\\\cos b\end{pmatrix}}.$$

திசையிலி முப்பெருக்க அணிக்கோவையின் வர்க்கம் காண: $${\begin{aligned}{\bigl (}\mathbf {OA} \cdot (\mathbf {OB} \times \mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}&=\left(\det {\begin{pmatrix}\mathbf {OA} &\mathbf {OB} &\mathbf {OC} \end{pmatrix}}\right)^{2}\\[4pt]&={\begin{vmatrix}0&0&1\\\sin c&0&\cos c\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&\cos b\end{vmatrix}}^{2}=\left(\sin b\sin c\sin A\right)^{2}.\end{aligned}}$$

OA ⋅ (OB × OC) திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் மதிப்பு, OA, OB, OC திசையன்களை ஒருமுனை விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத்திண்மத்தின் கனவளவுக்குச் (V) சமம். மேலும் OA, OB, OC திசையன்களைக் குறிக்க எடுத்துக்கொள்ளும் ஆயமுறையைப் பொறுத்து இந்த கனவளவு மாறாத அளவாக இருக்கும். எனவே

z-அச்சை OB வழியாக எடுத்துக்கொண்டு திசையன் முப்பெருக்கம் கண்டுபிடித்தால் (sin c sin a sin B)² எனவும், z-அச்சை OC வழியாக எடுத்துக்கொண்டு திசையிலி முப்பெருக்கம் காண (sin a sin b sin C)² எனவும் கிடைக்கும். மூன்று விடைகளையும் சமப்படுத்தி, (sin a sin b sin c)² ஆல் வகுக்க: $${\frac {\sin ^{2}A}{\sin ^{2}a}}={\frac {\sin ^{2}B}{\sin ^{2}b}}={\frac {\sin ^{2}C}{\sin ^{2}c}}={\frac {V^{2}}{\sin ^{2}(a)\sin ^{2}(b)\sin ^{2}(c)}},$$ இதிலிருந்து சைன்விதியின் வாய்பாட்டைப் பெறலாம்.

வடிவவியல் நிறுவல்

• கோளத்தின் ஆரம் ஓரலகு எனில், $$OA=OB=OC=1$$:

• $\angle ADO=\angle AEO=90^{\circ }$ என்றவாறு $D,$ $E$ புள்ளிகளை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.

• $\angle A'DO=\angle A'EO=90^{\circ }$ என்றவாறு $A'$ புள்ளியை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.

• இதிலிருந்து $\angle ADA'=B,$ $\angle AEA'=C$ ஆக இருக்கும்.

• $A'$ ஆனது, $OBC$ தளத்தில் $A$ இன் வீழலாகும். எனவே:

$\angle AA'D=\angle AA'E=90^{\circ }$

• முக்கோணவியலின் அடிப்படைப் பண்புகளின்படி:

$$AD=\sin c$$

$$AE=\sin b$$

• ஆனால் $AA'=AD\sin B=AE\sin C$

• இவற்றை இணைக்க:

$$\sin c\sin B=\sin b\sin C$$ $${\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}$$

• இதேபோன்று மற்ற உச்சிகளுக்கும் பெறப்படும் முடிவுகளைக் கொண்டு முழுமையான சைன் விதியைப் பெறலாம்:

$${\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}$$

வெளியிணைப்புகள்

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Sine theorem", Encyclopedia of Mathematics, Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1556080104
• The Law of Sines at cut-the-knot
• Degree of Curvature
• Finding the Sine of 1 Degree
• Generalized law of sines to higher dimensions