தொலைவு தகு வெளி

தொலைவு தகு வெளி (ஆங்கிலம்:Metrisable Space) கணிதத்தில் பகுவியல் என்ற பிரிவில் உள்ள ஒரு முக்கிய கருத்துப்பொருள் ஆகும். இது இடவியல் வெளிகளில் மிகவும் பயன்படும் ஒரு வெளியாகும். மெய்யெண்களின் கணத்தின் மேல் உள்ள இயற்கை இயல்வெளிக்கு பல அதிகப்படி இயல்புகளுள்ளன. அவைகளில் முக்கியமானது தொலைவு என்ற கருத்தை அதனுள் கொண்டது தான். அதாவது, R (மெய்யெண்களின் கணம்) இல் x , y என்ற எந்த இரண்டு புள்ளிகளுக்கிடையேயும்

$\;d(x,y)=(x^{2}-y^{2})^{1/2}$

என்ற ஒரு தொலைவு எண் உள்ளது. இந்தத்தொலைவு எண் அடித்தளத்தில் நான்கு கட்டுப்பாடுகளைக்கொண்டது. இவை 1906 இல் ஃப்ரெஷெ (Frechet) யால் முதன்முதல் இப்படி வகுக்கப்பட்டது. x, y, z என்பவை வெளியில் எந்த மூன்று புள்ளிகளாக இருந்தாலும்,

(தொ 1): $\;x\neq y$ என்றால் $\;d(x,y)$ ஒரு நேர்ம மெய்யெண்.

(தொ 2): $\;d(x,y)=0$

(தொ 3): $\;d(x,y)=d(y,x)$

(தொ 4): $\;d(x,y)\leq d(x,y)+d(y,z)$

ஒரு இடவியல் வெளியில் இப்படி ஒரு ‘d’ என்ற தொலைவு இருக்க முடியுமானால் அவ்விடவியல் வெளிக்கு தொலைவுதகு வெளி என்று பெயர். தொலைவு ஒன்று மேற்கண்ட நான்கு கட்டுப்பாடுகளுடன் இருந்துவிட்டால் அவ்வெளியை தொலைவு வெளி என்றே சொல்லப்படும்.

எல்லா இடவியல் வெளியிலும் இது சாத்தியமில்லை. ஆனால் பல செயற்பாடுகளில் தொலைவு தகுமை என்பதைவிட ஒரு குறைந்த கட்டுப்பாடே போதுமானதாக உள்ளது. அது என்னவென்றால், (*) p, q என்ற ஒவ்வொரு இரண்டு புள்ளிகளுக்கும் ஒன்றை ஒன்று வெட்டாத இரண்டு அண்மைகள் இருக்கவேண்டும்.

இவ்விதம் (*) என்ற கட்டுப்பாட்டை மெய்யாக்கும் இடவியல்வெளிக்கு ஹௌஸ்டார்ப்ஃ வெளி என்று பெயர். தொலைவுதகு வெளிகள் ஹௌஸ்டார்ப்ஃ வெளிகள்தாம்.

இதைச்சார்ந்த ஒரு சோகமான குறிப்பு. ஹௌஸ்டார்ப்ஃ (1868 – 1942) ஒரு சிறந்த ஜெர்மானிய கணிதவியலாளர்கணித இயலாளர். கணிதத்தில் பல சாதனைகளை புரிந்தவர். தற்கால இடவியலின் முன்னோடி. அதை முதன் முதலில் கணிதத்தின் ஒரு பிரிவாக்கி நூலாக எழுதியவர். அவரும் அவரது மனைவியாரும் ஜெர்மனியில் அக்காலத்து நிலைமையினால் உந்தப்பட்டு தற்கொலை புரிந்துகொண்டார்கள்.