பதின்மம்

பதின்மம், பதின்ம எண் முறை அல்லது தசமம் (Decimal) என்பது பத்தை அடியாகக் கொண்ட ஒரு எண் முறை (பத்தின் அடி எனவும் அழைக்கப்படும்). தற்காலப் பண்பாடுகளில் பரவலான பயன்பாட்டில் உள்ள எண் முறையும் இதுவே.^[1]^[2]

பதின்மக் குறியீடு என்பது 10 ஐ அடியாகக் கொண்ட இடஞ்சார் குறியீடு. இதற்கு இந்து அராபிய எண்முறை, சீனாவில் பயன்பாட்டில் இருந்த கோல் கணிப்பு முறை போன்றவை எடுத்துக்காட்டுகள்.^[3] இருந்தபோதிலும் ரோம எண்ணுருக்கள், சீன எண்ணுருக்கள் போன்ற இடஞ்சாராத, ஆனால் பத்தை அடியாகக் கொண்ட எண்முறைகளும் பதின்மக் குறியீடுகள் என்று குறிப்பிடப்படலாம்.

"பதின்ம எண்" என்னும்போது அது பதின்மக் குறியீட்டு முறையில் எழுதப்படும் எந்த எண்ணையும் குறிக்கலாம். ஆனாலும், பொது வழக்கில், ஒரு எண்ணின் முழு எண் பகுதியிலிருந்து புள்ளியொன்றினால் பிரித்துக் காட்டப்படும் பின்னப் பகுதியையே இவ்வாறு குறிப்பிடுகின்றனர் (எ.கா: 12.64).

பின்னப்பகுதி கொண்ட ஒரு பதின்ம எண்ணானது ஒரு முடிவுறு பதின்ம எண்ணாக (எகா. 15.600) அல்லது ஒரு மீளும் பதின்ம எண்ணாக (எகா. 5.123144^[4]) அல்லது முடிவிலா மீளாப் பதின்ம எண்ணாக (எகா. 3.14159265...) அமையும். பதின்ம பின்னங்கள் முடிவுறு பதின்மமாகவும், விகிதமுறு எண்கள் மீளும் பதின்மங்களாகவும், விகிதமுறா எண்கள் முடிவிலா, மீளாப் பதின்மங்களாகவும் இருக்கும்

பதின்மக் குறியீட்டு முறைகள்

உலகில் பல்வேறு பதின்மக் குறியீட்டு முறைகள் உள்ளன. இவற்றுட் சில இன்னும் வழக்கில் உள்ளன. சில அதிகம் பயன்பாட்டில் இல்லை அல்லது வழக்கொழிந்து விட்டன. கிரேக்க எண்கள், எபிரேய எண்கள், உரோம எண்கள், பிராமி எண்கள், சீன எண்கள் என்பவற்றுடன், தற்காலத்தில் ஐரோப்பிய நாடுகள் உட்பட உலகின் பல பாகங்களிலும் வழக்கில் உள்ள இந்திய-அராபிய எண்கள் போன்றவை பதின்மக் குறியீட்டு முறை சார்ந்தவை. உரோம எண்முறையில், பத்தின் மடங்குகளுக்குக் (1, 10, 100, 1000) குறியீடுகள் உள்ளன. அத்துடன், மேற்படி எண்களின் அரைப்பங்கு பெறுமானங்களுக்கும் (5, 50, 500) தனிக் குறியீடுகள் காணப்படுகின்றன. இக்குறியீடுகளைக் குறித்த முறையொன்றைப் பயன்படுத்தி எண்கள் எழுதப்படுகின்றன. பிராமி எண்முறையில் 1-9 வரையான எண்களுக்குத் தனிக் குறியீடுகள் உள்ளன. பத்துக்களைக் குறிக்கும் ஒன்பது எண்களுக்கும் (10-90) குறியீடுகள் உள்ளன. இவற்றுடன் 100 ஐக் குறிக்கவும், 1000 ஐக் குறிக்கவும் இரண்டு குறியீடுகள் காணப்படுகின்றன. சீன முறையிலும், 1-9 வரையிலான எண்களுக்கும், பத்தின் அடுக்குகளுக்கும் குறியீடுகள் இருக்கின்றன. தற்காலத்தில் பத்தின் 72வது அடுக்குவரையிலான எண்களுக்குக் குறியீடுகள் சீன முறையில் காணப்படுகின்றன.

இந்திய-அரபு எண்முறையில், பதின்மக் குறியீடு என்பது, மேற்காட்டியவாறான பதின்ம எண்ணீட்டை (numeration) மட்டும் குறிக்காமல், பதின்மப் பின்னங்களையும் சேர்த்து இடஞ்சார் முறைமூலம் குறிக்கப்படுகின்றது. இடஞ்சார் பதின்ம முறையில், சுழியம் உட்படப் பத்துப் பெறுமானங்களைக் (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 என்பன) கொண்ட குறியீடுகள் பயன்படுகின்றன. இக்குறியீடுகள் இலக்கங்கள் எனப்படுகின்றன. இவற்றைப் பயன்படுத்தி, எந்தவொரு எண்ணையும் எழுத முடியும். எண் எவ்வளவு பெரியது அல்லது எவ்வளவு சிறியது என்பது ஒரு பொருட்டல்ல. பின்னப் பகுதிகளைக் கொண்ட எண்களை எழுதும்போது, இவ்விலக்கங்கள் பதின்மப் பிரிப்பானுடன் பயன்படுகின்றன. இப்பதின்மப் பிரிப்பான் முழுஎண் முடிந்து பின்னப் பகுதி தொடங்கும் இடத்தைக் குறிக்கப் பயன்படுகிறது. பெரும்பாலும் ஒரு புள்ளியே பதின்மப் பிரிப்பானாகப் பயன்படுகிறது. சில நாடுகளில் பதின்மப் பிரிப்பானாக ஒரு காற்பிள்ளியைப் பயன்படுத்துவதும் உண்டு. இதோடு கூட்டல் குறி (+), கழித்தல் குறி (-) ஆகியவையும், எண்ணுக்கு முன்னால் பயன்படுவது உண்டு. கூட்டல் குறி எண் சுழியத்திலும் பெரிது (நேர் எண்) என்பதையும், கழித்தல் குறி, எண் சுழியத்திலும் சிறியது (எதிர் எண்) என்பதையும் குறிக்கின்றன.

இடஞ்சார் குறியீடு, இடங்களை, ஒன்றுகள் (10⁰), பத்துக்கள் (10¹), நூறுகள் (10²), ஆயிரங்கள் (10³) போன்ற பத்தின் அடுக்குகளைக் குறிப்பதற்குப் பயன்படுகிறது. ஒரு எண்ணில் உள்ள ஒவ்வொரு இலக்கமும் அவ்விலக்கத்தைக் குறித்த இடத்துக்குரிய பத்தின் அடுக்கால் பெருக்கும்போது கிடைக்கும் பெறுமதிக்குச் சமமாகும். ஒரு எண்ணில் உள்ள ஒவ்வொரு இடமும் அதற்கு வலப்பக்கத்தில் உள்ள இடத்திலும் பத்து மடங்கு கூடிய பெறுமானம் கொண்டது.

பதின்ம பின்னங்கள்

பதின்ம பின்னம் என்பது, பத்தின் அடுக்கைப் பகுதியாகக் கொண்ட பின்னமாகும்.^[5] பதின்ம பின்னங்கள், பகுதிகளைக் கொண்ட பின்ன வடிவில் அல்லாமல் பதின்மப் பிரிப்பானைப் பயன்படுத்தி, பதின்ம வடிவில் எழுதப்படுகின்றன.

எடுத்துக்கட்டுகள்:

810 = 0.8

1489100 = 14.89

24100000 = 0.00024

5890010000 = 5.8900

வெவ்வேறு விதமான பதின்மப் பிரிப்பான் குறியீடுகள் வழக்கில் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, லத்தீன் அமெரிக்கா மற்றும் பெரும்பாலான ஆசிய நாடுகளில் (.) அல்லது (·) என்ற குறியீடும், ஐரோப்பா உள்ளிட்ட சிலநாடுகளில் (,) என்ற குறியீடும் பயன்பாட்டில் உள்ளது.

ஒரு பதின்ம எண்ணில் பதின்மப் பிரிப்பானுக்கு இடப்க்கம் அமைவது, அவ்வெண்ணின் முழுஎண் பகுதி; வலப்பக்கம் அமைவது அதன் பின்னப்பகுதி ஆகும். ஒரு பதின்ம எண்ணானது பின்னப்பகுதியை மட்டும் கொண்டிருந்தால் (தகு பின்னம் பதின்மப் பிரிப்பானுக்கு இடப்பக்கத்தில் ஒரு பூச்சியத்துடன் துவங்கப்படும். இவ்வாறு எழுதுவதால், பதின்மக் குறியை மற்ற நிறுத்தற்குறிகளிலிருந்து வேறுபடுத்திக் காணமுடியும். குறிப்பாக, அப்பதின்ம எண் ஓர் எதிர்ம எண்ணாக இருக்கும்போது அந்த முழு எண்ணுருவின் குறியையும் அறியமுடியும்.

ஒரு பதின்ம பின்னத்தில் பின்னப்பகுதியின் இறுதியில் நீளும் பூச்சியங்கள் தேவையற்றவை; அவை மதிப்பில்லாதவை. எனினும் ஒரு எண்ணின் துல்லிய மதிப்பின் நம்பக அளவைக் குறிப்பதற்காக அறிவியல், பொறியியல், மற்றும் புள்ளியியலில் இப்பூச்சியங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, 0.080 , 0.08 இரண்டும் எண்ணளவில் சமமென்றாலும், அளவீட்டின்போது இரு நூற்றில் ஒரு பங்கு (±0.005) அளவு பிழை இருக்கலாம் என்பதை 0.08 உம், இரண்டாயிரத்தில் ஒரு பங்கு (±0.0005) அளவு பிழை இருக்கலாம் என்பதை 0.080 உம் குறிக்கின்றன.

ஏனைய விகிதமுறு எண்கள்

2, அல்லது 5, அல்லது 2, 5 இரண்டையும் மட்டுமே பகுதியின் பகாக் காரணிகளாகக் கொண்ட ஒரு விகிதமுறு எண்ணை முடிவுறு பதின்ம பின்னமாக எழுதலாம்.^[6]

1/2 = 0.5

1/20 = 0.05

1/5 = 0.2

1/50 = 0.02

1/4 = 0.25

1/40 = 0.025

1/25 = 0.04

1/8 = 0.125

1/125= 0.008

1/10 = 0.1

ஒரு முழுவதுமாகச் சுருக்கப்பட்ட விகிதமுறு எண்ணின் பகுதியானது 2 அல்லது 5 தவிர்த்த பிற பகா எண் காரணிகளைக் கொண்டிருந்தால், அந்த விகிதமுறு எண்ணை ஒரு முடிவுறு பதின்ம பின்னமாக எழுத இயலாது.^[6] மாறாக, அதன் பதின்ம பின்னமானது ஒரு முடிவுறு மீள் பதின்மமாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

13 = 0.333333... (எண் 3, மீள்கிறது)

19 = 0.111111... (எண் 1 மீள்கிறது)

111 = 0.090909... (09 மீள்கிறது)

1111 = 0.009009009...(009 மீள்கிறது)

127 = 0.037037037... (037 மீள்கிறது)

137 = 0.027027027... (027 மீள்கிறது)

181 = 0.012345679012... ( 012345679 மீள்கிறது)

நெடுமுறை வகுத்தல் படிமுறைத் தீர்வின்படி வகுஎண் q கொண்ட ஒரு வகுத்தலில், பூச்சியமற்ற மீதிகளின் எண்ணிக்கை அதிகபட்சமாக q − 1 ஆக இருக்கும் என்ற கருத்தின் விளைவாக, ஒரு விகிதமுறு எண் முடிவுறு அல்லது மீளும் பதின்மமாக அமையும் என்பதைக் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு: 3/7 இன் நெடுமுறை வகுத்தல்:

  0.4 2 8 5 7 1 4 …
7)3.0 0 0 0 0 0 0 0
    2 8                         30 ÷ 7 = 4 ; மீதி 2
    2 0
      1 4                       20 ÷ 7 = 2; மீதி 6
      6 0
        5 6                     60 ÷ 7 = 8; மீதி 4
        4 0
          3 5                   40 ÷ 7 = 5; மீதி 5
          5 0
            4 9                 50 ÷ 7 = 7; மீதி 1
            1 0
                7               10 ÷ 7 = 1; மீதி 3
              3 0
                2 8             30 ÷ 7 = 4; மீதி 2
                2 0
                         etc.

மறுதலையாக, ஒவ்வொரு மீளும் பதின்மமும் p/q என்ற விகிதமுறு எண்ணைக் குறிக்கும்:

ஒவ்வொரு பதின்ம எண்ணின் மீளும் பின்னப் பகுதியானது ஒரு முடிவுறா பெருக்குத் தொடரின் கூடுதலாகவும், அக்கூடுதலின் மதிப்பு ஒரு விகிதமுறு எண்ணாக இருக்கும் என்பதால் ஒவ்வொரு மீளும் பதின்மமும் ஒரு விகிதமுறு எண்ணைக் குறிக்கிறது.

0.0123123123\cdots ={\frac {123}{10000}}\sum _{k=0}^{\infty }0.001^{k}={\frac {123}{10000}}\ {\frac {1}{1-0.001}}={\frac {123}{9990}}={\frac {41}{3330}}

மெய்யெண்கள்

மேலதிக தகவலுக்கு: பதின்ம உருவகிப்பு

ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணுக்கும் ஒரு பதின்ம உருவகிப்பு உள்ளது:

x=\mathop {\rm {sign}} \sum _{i\in \mathbb {Z} }a_{i}\,10^{i}

இதில்

குறி ∈ {+,−}, குறிச் சார்புடன் தொடர்புடையது,
ℤ முழு எண்களின் கணம்
a_i ∈ { 0,1,...,9 }

இவற்றையும் பார்க்க

மேற்கோள்கள்

↑ The History of Arithmetic, Louis Charles Karpinski, 200pp, Rand McNally & Company, 1925.
↑ Histoire universelle des chiffres, Georges Ifrah, Robert Laffont, 1994 (Also: The Universal History of Numbers: From prehistory to the invention of the computer, Georges Ifrah, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-471-39340-1, John Wiley and Sons Inc., New York, 2000. Translated from the French by David Bellos, E.F. Harding, Sophie Wood and Ian Monk)
↑ Lam Lay Yong & Ang Tian Se (2004) Fleeting Footsteps. Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China, Revised Edition, World Scientific, Singapore.
↑ 5.123144 இதிலுள்ள மேற்கோடு, '144' ஆனது மீளும் என்பதைக் குறிக்கும். அதாவது.5.123144144144144...}}.
↑ "Decimal Fraction". Encyclopedia of Mathematics. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2013-06-18.
↑ ^6.0 ^6.1 Math Made Nice-n-Easy. Piscataway, N.J.: Research Education Association. 1999. p. 141. {{cite book}}: Unknown parameter |= ignored (help)

வெளி இணைப்புகள்

[1] The History of Arithmetic, Louis Charles Karpinski, 200pp, Rand McNally & Company, 1925.

[2] Histoire universelle des chiffres, Georges Ifrah, Robert Laffont, 1994 (Also: The Universal History of Numbers: From prehistory to the invention of the computer, Georges Ifrah, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-471-39340-1, John Wiley and Sons Inc., New York, 2000. Translated from the French by David Bellos, E.F. Harding, Sophie Wood and Ian Monk)

[3] Lam Lay Yong & Ang Tian Se (2004) Fleeting Footsteps. Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China, Revised Edition, World Scientific, Singapore.

[4] 5.123144 இதிலுள்ள மேற்கோடு, '144' ஆனது மீளும் என்பதைக் குறிக்கும். அதாவது.5.123144144144144...}}.

[5] "Decimal Fraction". Encyclopedia of Mathematics. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2013-06-18.

[p141isbn0-87891-200-2-6] 6.0 ^6.1 Math Made Nice-n-Easy. Piscataway, N.J.: Research Education Association. 1999. p. 141. {{cite book}}: Unknown parameter |= ignored (help)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]