பரிமாற்றுத்தன்மை

கணிதத்தில், ஒரு கணிதச் செயலைச் செய்யும்போது செயலுட்படுத்திகளின் (operands) வரிசை மாறினாலும் இறுதி முடிவின் மதிப்பு மாறாமல் இருக்குமானால் அந்தச் செயலி பரிமாற்றுத்தன்மை (Commutativity) உடையது எனப்படுகிறது. பரிமாற்றுத்தன்மையை அடிப்படைப் பண்பாகக் கொண்ட பல ஈருறுப்புச் செயலிகளைச் சார்ந்துள்ள கணித நிரூபணங்கள் நிறைய உள்ளன. எண் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் போன்ற எளிய செயலிகளின் பரிமாற்றுத்தன்மை பல ஆண்டுகாலங்களுக்கு முன்பே யூகிக்கப்பட்டிருந்தாலும் 19ம் நூற்றாண்டில் கணிதம் முறைப்படுத்தப்படும் வரை பெயரிடப்படாமலேதான் இருந்து வந்தது. கழித்தல், வகுத்தல் செயலிகளுக்குப் பரிமாற்றுப் பண்பு கிடையாது.

பொதுப் பயன்பாடு

பரிமாற்றுப் பண்பானது, (பரிமாற்று விதி) ஈருறுப்புச் செயலிகள் மற்றும் சார்புகளுடன் தொடர்புபடுத்தப்பட்ட ஒரு பண்பாகும். ஒரு குறிப்பிட்ட ஈருறுப்புச் செயலியின்கீழ் உட்படுத்தப்படும் இரு உறுப்புகளுக்குப் பரிமாற்றுத்தன்மை இருந்தால் அந்த இரண்டு உறுப்புகளும் அந்தச் செயலியைப் பொறுத்து பரிமாறுவதாகக் கொள்ளப்படுகிறது.

குலம் மற்றும் கணக் கோட்பாடுகளின் பல இயற்கணித அமைப்புகளில், சில குறிப்பிட்ட செயலுட்படுத்திகள் பரிமாற்றுப் பண்பினை நிறைவு செய்யும்போது அந்த அமைப்புகள் பரிமாற்று அமைப்புகளென அழைக்கப்படுகின்றன. மெய்யெண்கள் மற்றும் சிக்கலெண்களின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் போன்ற நன்கு அறியப்பட்ட செயலிகளின் பரிமாற்றுத்தன்மையானது, பகுவியல் மற்றும் நேரியல் இயற்கணிதம் போன்ற கணிதத்தின் உயர் கிளைகளின் நிரூபணங்களில் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

கணித வரையறை

பரிமாற்று என்ற வார்த்தை பல்வேறு தொடர்புடைய பொருளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

• S கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈறுறுப்புச் செயலி * ஆனது

$\forall (x,y)\in S:x*y=y*x\,$

என்றவாறு அமையுமானால் அது பரிமாற்றுப் பண்புடைய செயலி அல்லது பரிமாற்றுச் செயலி எனப்படும். மேற்காணும் பண்பை நிறைவு செய்யாத செயலிக்குப் பரிமாற்றுப் பண்பு கிடையாது. அதாவது பரிமாறாச் செயலியாகும்.

• $x*y=y*x\,$ எனில் * செயலியின் கீழ் x ஆனது y உடன் பரிமாறுகிறது எனப்படும்.
• $f\colon A\times A\to B$ என்ற ஈருறுப்புச் சார்புக்கு,

$\forall (x,y)\in A:f(x,y)=f(y,x)\,$ என்பது உண்மையானால் அச்சார்பு பரிமாற்றுப் பண்புடையதாகும்.

வரலாறும் சொற்பிறப்பியலும்

பரிமாற்றுப் பண்பின் உள்ளுறைவான பயன்பாடு பழங்காலத்திலிருந்தே இருந்து வந்துள்ளது. எகிப்தியர்கள் பெருக்கற்பலன்களை எளிதாக கணக்கிடுவதற்குப் பெருக்கலின் பரிமாற்றுத்தன்மையைப் பயன்படுத்தியிருக்கின்றனர்.யூக்ளிட் தனது எலிமெண்ட்ஸ் புத்தகத்தில் பெருக்கலின் பரிமாற்றுத்தன்மையை யூகமாகப் பயன்படுத்தியுள்ளார். 18ம் நூற்றாண்டின் இறுதியிலும், 19ம் நூற்றாண்டின் ஆரம்பத்திலும் கணிதவியலாளர்கள் சார்புக் கோட்பாட்டில் செயல்பட ஆரம்பித்த பின்புதான் பரிமாற்றுப் பண்பின் முறையான பயன்பாடு தொடங்கியது. இன்று கணிதத்தின் பெரும்பாலான கிளைகளில் பயன்படுத்தப்படும் நன்கு அறிந்த, அடிப்படைப் பண்பாகப், பரிமாற்றுப் பண்பு உள்ளது.

பரிமாற்று என்ற வார்த்தையின் பதிவு செய்யப்பட்ட முதல் பயன்பாடு, 1814ல் வெளியான ஃபிரான்சுவா செர்வாயின்(Francois Servois) வாழ்க்கை நினைவுக் குறிப்பில் உள்ளது. இதில், நாம் இப்பொழுது பரிமாற்றுப் பண்பு என்று குறிப்பிடும் பண்பினையுடைய சார்புகளைப் பற்றிக் கூறும் போது பரிமாற்றுகள் (commutatives) என்ற வார்த்தை பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. ஆங்கிலச் சொல்லான commutative என்ற சொல்லானது, மாற்றுதல் அல்லது பிரதியிடல் என்ற பொருளுடைய பிரெஞ்சு சொல் Commuter லிருந்து முன் பகுதியையும் அணுகுதல் என்ற பொருளுடைய -ative சொல்லிலிருந்து பின் பகுதியையும் கொண்டு உருவானதாகும். 1844ல் ஃபிலசாஃபிகல் டிரான்சாக்‌ஷன்ஸ் ஆஃப் தி ராயல் சொசைடி என்ற ஆங்கில அறிவியல் இதழில், ஆங்கிலத்தில் இச் சொல் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டுகள்

தினசரி வாழ்க்கையில் காணும் பரிமாற்றுச் செயலிகள்

• காலுறைகளை அணியும் செயல் பரிமாற்றுச் செயலியை ஒத்ததாகும். ஏனெனில் இரு கால்களில் முதலில் வலது அடுத்தது இடது காலில் காலுறையை அணிவதும் அல்லது முதலில் இடது அடுத்தது வலது காலில் காலுறையை அணிவதும் முடிவில் ஒரே மாதிரிதான் இருக்கும். வேறுபாடு இருக்காது.
• இரு பொருள்களை வாங்கிவிட்டு அவற்றுக்கான பணத்தைக் கணக்கிடுவது பரிமாற்றுச் செயலாகும். முதல் பொருளின் விலையோடு இரண்டாவது பொருளின் விலையைக் கூட்டினாலும் அல்லது இரண்டாவது பொருளின் விலையோடு முதல் பொருளின் விலையைக் கூட்டினாலும் மொத்த விலையின் மதிப்பு மாறாது.

கணிதத்தில் உள்ள பரிமாற்றுச் செயலிகள்

• மெய்யெண்களின் கூட்டலுக்குப் பரிமாற்றுப் பண்பு உண்டு.

$\forall (y,z)\in \mathbb {R} :y+z=z+y$

4 + 5 = 5 + 4 ஏனெனில் இரண்டிற்குமே மதிப்பு 9 ஆகும்.

• மெய்யெண்களின் பெருக்கலுக்குப் பரிமாற்றுப் பண்பு உண்டு.

$\forall (y,z)\in \mathbb {R} :yz=zy$

3 × 5 = 5 × 3, ஏனெனில் இரண்டின் மதிப்புமே 15 ஆகும்.

• பரிமாற்றுப் பண்புடைய பிற செயல்கள்
  • சிக்கலெண்களின் கூட்டல், பெருக்கல்;
  • திசையன்களின் கூட்டல், திசையிலிப் பெருக்கலும்;
  • கணங்களின் ஒன்றிப்பு, வெட்டு.

தினசரி வாழ்க்கையில் காணும் பரிமாறாச் செயலிகள்

• எழுத்துத் தொடர்களைத் தொடுக்கும் செயல் பரிமாறாச்செயலாகும்.

$EA+T=EAT\neq TEA=T+EA$

• துணி துவைத்துக் காயவைக்கும் செயல் பரிமாறாச் செயலாகும். ஏனெனில் துவைத்த பின் காய வைத்தலும் காய வைத்த பின் துவைத்தலும் வெவ்வேறான முடிவுகளைத் தரும்.

கணிதத்தில் உள்ள பரிமாறாச் செயலிகள்

பரிமாறாச் செயல்களுக்குச் சில எடுத்துக்காட்டுகள்:

• கழித்தல் பரிமாறாச் செயலியாகும்.

$0-1\neq 1-0$

• வகுத்தல் பரிமாறாச் செயலியாகும்.

${\frac {1}{2}}\neq {2}{1}$

• அணிப்பெருக்கல் பொதுவாகப் பரிமாறாச் செயலியாகும்.

${\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}$

• இரு திசையன்களின் குறுக்குப் பெருக்கல் பரிமாறாச்செயலி ஆகும்.

$b\times a\neq a\times b$

$b\times a=-(a\times b)$

கணித அமைப்புகளும் பரிமாற்றுத்தன்மையும்

• பரிமாற்று அரைக்குலத்தின் ஈருறுப்புச் செயலி, சேர்ப்பு மற்றும் பரிமாற்றுப் பண்புகளுடையது.
• பரிமாற்று அரைக்குலத்தில் கூடுதலாக செயலியின் முற்றொருமை உறுப்பும் இருக்குமானால் அது பரிமாற்று ஒற்றைக்குலமாகும். (commutative monoid)
• பரிமாற்றுக்குலத்தின் செயலி பரிமாற்றுப் பண்பு கொண்டதாகும்.
• பரிமாற்று வளையத்தின் பெருக்கல் செயலி, பரிமாற்றுப் பண்பு உடையதாகும். (வளையத்தின் கூட்டல் செயலிக்குப் பரிமாற்றுப் பண்பு ஏற்கனவே உண்டு.)
• ஒரு களத்தின் கூட்டல், பெருக்கல் ஆகிய இரு செயல்களுமே பரிமாற்றுப் பண்பு கொண்டவையாகும்.

உசாத்துணை

• Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-387-98258-2. 

Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.

• Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-13-067342-0. https://archive.org/details/algebraabstractc0000good_c6k2. 

Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.

• Gallian, Joseph (2006). Contemporary Abstract Algebra, 6e. Boston, Mass.: Houghton Mifflin. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-618-51471-6. https://archive.org/details/contemporaryabst0000gall. 

Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.