லியோவிலின் தேற்றம் (கலப்பெண் பகுப்பாய்வு)

கலப்பெண் பகுப்பாய்வில், லியோவில்லின் தேற்றமானது, ஜோசப் லியுவிலால் பெயரிடப்பட்டது, ஒவ்வொரு வரையறுக்கப் பட்ட முழு சார்பும் மாறிலியாக இருக்க வேண்டும் என்று கூறுகிறது. அதாவது, எல்லா இசை சார்பு f க்கும் . ஒரு நேர்மறை எண் M  உள்ளது. எனில் அ   அனைத்து z ம் மாறிலியாக C இல் உள்ளது . இதற்கு சமமாக , மாறிலி அல்லாத இசை சார்பு C இல் இருந்தால், அது   அடர்ந்த ஒத்திருத்தலை கொண்டிருக்கும்.

இந்த கோட்பாடு பிகார்ட்டின் சிறிய கோட்பாட்டால் கணிசமாக முன்னேறியுள்ளது, இது ஒவ்வொரு முழு சார்பும் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சிக்கலான எண்கள் மாறிலியாக இருந்தால், அடர்ந்த ஒத்திருத்தலை ஒதுக்கி வைக்கும் 

ஆதாரம்தொகு

ஹோலமோர்ஃபிக் செயல்பாடுகளை பகுப்பாய்வு செய்வதன் மூலம் இந்த கோட்பாடு பின்வருமாறு கூறுகிறது. f முழு  சார்பு எனில், அதன் டெய்லர் தொடர் 0.

இங்கு ( கோச்சியின் ஒருங்கிணைந்த சூத்திரம்)

 

மற்றும் Cr  வட்டம் பற்றியது. 0 மையம், ஆரம் r > 0. எனில் , f என்பது வரையறுக்கப் பட்டது. அதாவது  ஒரு நிலையான M இருந்தால்  |f(z)| ≤ M அனைத்து z இக்கும். நாம் இதை நேரடியாக மதிப்பிட முடியும் 

 

அங்கு உள்ள இரண்டாவது சமத்துவமின்மை நாம் பயன்படுத்த வேண்டும் . உண்மையில் |z|=, r  என்பது வட்டம், Cr. ஆனால் தேர்வு r மேலே ஒரு தன்னிச்சையான நேர்மறை எண். எனவே, r முடிவிலிக்கு சென்றால்(நாம் அனுமதிக்க r  முடிவிலி ஏனெனில்   f என்பது அனைத்து தளக்களிலும்  பகுப்பாய்வு) ak  = 0 அனைத்து k ≥ 1. இதனால் f(z) = a0 மற்றும் இந்த தேற்றம் நிரூபணமாகிறது. 

கிளைத்தேற்றம்தொகு

இயற்கணிதத்தின் அடிப்படை தேற்றம்தொகு

லியோவில் தேற்றத்தின் அடிப்படையில் இயற்கணித அடிப்படை தேற்றத்தின்   நிரூபணம்உள்ளது. [1]

முழு சார்பானது மற்றொரு முழு சார்பினை ஆதிக்கம் செலுத்தாதுதொகு

கோட்பாட்டின் விளைவாக, "உண்மையான வேறுபாடு" முழு சார்புகளும் ஒன்றுக்கொன்று ஆதிக்கம் செலுத்துவதில்லை, அதாவது f மற்றும் g முழுமையாய் இருந்தால், | f | ≤ | g | எல்லா இடங்களிலும், பின் f = α · g சில சிக்கலான எண் α க்கு மட்டும். g=0 தேற்றம் ஒருமையில் உள்ளது,  ஆனால்நாம் g0. என எடுத்துக்கொள்வோம் .சார்பு h = f/g எனில் அது போதும் நிரூபிக்க முடியும்  h என்பது நீட்டிக்க கூடிய ஒரு முழு சார்பு, இதனுடைய முடிவை லியோவில்தேற்றம் மூலம் அறியலாம். இந்த முழுமையான, h  ஆனது g−1(0) இல்லை. ஆனால்  h என்பது எல்லை உடையது மற்றும் g இன்அனைத்து பூச்சிய மதிப்புகளும் தனிமைப்படுத்தப்பட்டு , எந்த ஒருபடித்தானவையும் நீக்க வேண்டும் இதனால் h நீட்டிக்க முடியும் ஒரு முழு எல்லை சார்பு இதனை லியோவில் தேற்றத்தின்படி அது ஒரு மாறிலி.

f இன் குறைவானஅல்லது சமமாக  ஸ்காலர் முறைகளுக்கு அதன் உள்ளீடு இருந்தால், அது நேரியல் ஆகும்தொகு

 f முழு மற்றும் |f(z)| குறைவாக அல்லது சமமாக M|z|, M, ஒரு நேர்மறை மெய் எண். கோச்சி  ஒருங்கிணைந்த சூத்திரத்தை  பயன்படுத்தினால்,நாம் பெறுவது

 

இங்கு Iமதிப்பு மீதமுள்ள ஒருங்கிணைந்தது.  f' என்பது எல்லை உடையது மற்றும் முழு என்பதை காட்டுகிறது , எனவே லியோவில் தேற்றத்தின் படி அது ஒரு மாறிலி  .  f ஆனது affine மற்றும்பின்னர், குறிப்பிடும் மூலம் மீண்டும் அசல் சமத்துவமின்மை, நமக்கு கிடைப்பது மாறிலி மதிப்பு பூஜ்யம்.

மாறாத நீள்வட்ட செயல்பாடுகளை Cவில் வரையறுக்க முடியாதுதொகு

தேற்றம் ஒரு மாறிலி நீள்வட்ட சார்பு f இன் டொமைன் சி இருக்க முடியாது என்று ஊகிக்க பயன்படுத்தலாம். பின், a மற்றும் b என்பது f / b இன் இரண்டு காலங்கள் எனில் உண்மையானால், parallelogram P ஆனது, அதன் உச்சங்கள் 0, a, b மற்றும் a + b. F இன் படம் f (பி) க்கு சமம். எஃப் தொடர்ச்சியானது மற்றும் பக் கச்சிதமாக இருப்பதால், f (P) கச்சிதமாகவும், எனவே, அது பிணைக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே, f மாறிலி.

847 இல், நீள்வட்ட செயல்பாடுகளை கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, லியுவிலி உண்மையில் நிரூபித்தது என்னவென்றால், மாறாத நீள்சதுர செயல்பாடு f இன் டொமைன் C ஆக முடியாது. உண்மையில், அது லுவுவிலின் கோட்பாட்டை நிரூபித்த காச்சியாய் இருந்தது [2][3]

முழு செயல்பாடுகளும் அடர்த்தியான படங்கள் உள்ளனதொகு

 F என்பது ஒரு மாறிலி முழு செயல்பாடாக இருந்தால், அதன் படம் C இல் அடர்த்தியானது. இது லியுவிலில் தேற்றத்தை விட மிகவும் வலுவான விளைவாக தோன்றக்கூடும், ஆனால் அது உண்மையில் எளிதானது. F இன் படம் அடர்த்தியானதல்ல என்றால், ஒரு சிக்கலான எண் w மற்றும் r இன் உண்மையான எண் r> 0 எனில், r ஆற்றலுடன் திறந்த வட்டு f இன் படத்தின் உறுப்பு இல்லை. G (z) = 1 / (f (z) - w) வரையறுக்கவும். பின்னர் g ஆனது முழு செயல்பாடுகளையும் கொண்டுள்ளது

 

எனவே, கிராம் நிலையான உள்ளது, எனவே எஃப் நிலையான உள்ளது.

மீது காம்பாக்ட் Riemann பரப்புகளையும்தொகு

எந்த holomorphic செயல்பாடு மீது ஒரு சிறிய Riemann மேற்பரப்பு அவசியம் நிலையான.[4]

நாம் இருக்க holomorphic ஒரு சிறிய Riemann மேற்பரப்பு . மூலம் இறுக்கம், அங்கு ஒரு புள்ளி எங்கே அடைகிறான் அதன் அதிகபட்ச. பின்னர் நாம் கண்டுபிடிக்க முடியும், ஒரு பட்டியலில் இருந்து ஒரு அக்கம் அலகு வட்டு என்று போன்ற இது holomorphic அலகு வட்டு மற்றும் ஒரு அதிகபட்ச எனவே , அது நிலையான, மூலம் அதிகபட்ச modulus கொள்கை.

கருத்துக்கள்தொகு

நாம் சி ∪ {∞} இருக்க, ஒரு கட்டத்தில் compactification சிக்கலான விமானம் சி. இடத்தில் holomorphic செயல்பாடுகளை வரையறுக்கப்பட்ட பகுதிகளில் உள்ள சி, ஒரு பரிசீலிக்க முடியும் பகுதிகளில் உள்ள சி ∪ {∞}. பார்க்க, இந்த வழியில் மட்டுமே சாத்தியம் தனிச் முழு செயல்பாடுகளை, வரையறுக்கப்பட்ட மீது சிசி ∪ {∞}, புள்ளி ∞. என்றால் ஒரு முழு செயல்பாடு f என்பது bounded உள்ள ஒரு அக்கம் ∞, பின்னர் ∞ ஒரு நீக்கக்கூடிய முதலீட்டியம் , f, அதாவது f முடியாது தகர்ப்பு அல்லது erratically நடந்து மணிக்கு ∞. ஒளி மின் தொடர் விரிவாக்கம், அது ஆச்சரியம் இல்லை என்று Liouville தேற்றம் வைத்திருக்கிறது.

இதேபோல் என்றால், ஒரு முழு செயல்பாடு உள்ளது ஒரு துருவம் மணிக்கு ∞, அதாவது அடிகள் வரை போன்ற zn சில அக்கம் ∞, பின்னர் எஃப் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை. இந்த விரிவாக்கப்பட்ட பதிப்பு Liouville தேற்றம் இருக்க முடியும், இன்னும் துல்லியமாக, கூறினார்: என்றால் |f(z)| ≤ M.|zn| |z| போதுமான பெரிய, பின்னர் எஃப் ஒரு polynomial பட்டம் மிகவும் n. இந்த இருக்க முடியும் நிரூபித்தது பின்வருமாறு. மீண்டும் எடுத்து டெய்லர் தொடர் பிரதிநிதித்துவம் f,

 

வாதம் பயன்படுத்தப்படும் போது ஆதாரம் பயன்படுத்தி காச்சி மதிப்பிட்டுள்ளது என்று காட்டுகிறது

 

So, if k > n,

 

Therefore, ak = 0.

Liouville தேற்றம் நீட்டிக்க முடியாது, இந்த சிக்கலான எண்கள் என அழைக்கப்படும் இரட்டை எண்கள் மற்றும் இரட்டை எண்கள்.[5]

See மேலும்தொகு

  • .Mittag-Leffler தேற்றம்

Referencesதொகு

  1. Benjamin Fine; Gerhard Rosenberger (1997). The Fundamental Theorem of Algebra. Springer Science & Business Media. பக். 70–71. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-387-94657-3. https://books.google.com/books?id=g0KHD7EIl4cC&pg=PA70. 
  2. Cauchy, Augustin-Louis (1844), "Mémoires sur les fonctions complémentaires", Œuvres complètes d'Augustin Cauchy, 1, 8, Paris: Gauthiers-Villars (1882 அன்று பதியப்பட்டது) More than one of |author-link= மற்றும் |authorlink= specified (உதவி)
  3. Lützen, Jesper (1990), Joseph Liouville 1809–1882: Master of Pure and Applied Mathematics, Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, 15, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97180-7 More than one of |ISBN= மற்றும் |isbn= specified (உதவி)
  4. a concise course in complex analysis and Riemann surfaces, Wilhelm Schlag, corollary 4.8, p.77 http://www.math.uchicago.edu/~schlag/bookweb.pdf பரணிடப்பட்டது 2017-08-30 at the வந்தவழி இயந்திரம்
  5. https://www.rose-hulman.edu/mathjournal/archives/2011/vol12-n2/paper4/v12n2-4pd.pdf