வரிசைமாற்றக்குலத்தில் இணையியத்தல்

கணிதத்தில் குலக்கோட்பாட்டில், குறிப்பாக, பரிமாற்றலற்ற குலங்களில், இணை இயத்தல் (Conjugation) என்ற செயல்பாடு குலத்தின் உட்கூறுகளை ஆழ்ந்து நோக்கப் பயன்படுகிறது. இக்கட்டுரை ஒற்றுமை வகுப்பு (Permutation group) இச்செயல்பாட்டைப் பற்றிப் பேசுகிறது.

இணையியம்தொகு

G ஒரு குலம் என்று கொள்க.   இனுடைய இணையியம் (Conjugate) என்பதற்கு இலக்கணம்:

ஏதாவதொரு   க்கு,  .

எளிதாகவே இணையியத்தல் ஒருசமான உறவு என்று கண்டுகொள்ளலாம்.

  என்ற ஓர் உறுப்புக்கு இணையியமாக உள்ளதையெல்லாம் ஒரு பகுதியில் போட்டால்,   இன் இணையியச் சமானப்பகுதி (Conjugate equivalence class of a)கிடைக்கும். உண்மையில்,

  இன் இணையியச் சமானப்பகுதி =  . இதற்குக்குறியீடு:  

அவதானக் குறிப்புதொகு

இணையியத்திற்காக உள்ள வாய்பாடு   ஐ நினைவில் வைத்துக்கொள்ள பாமர வழக்கில் ஒரு குறிப்பு:

'கண்களை மூடு; பரம்பொருளை மனதில் நிறுத்து; மூடின கண்களைத்திற'. இதுதான்  .

வரிசைமாற்றக் குலங்களில் எடுத்துக் காட்டுகள்தொகு

  •   ஐ நோக்குவோம். உறுப்பு   உறுப்பு   இன் இணையியம். ஏனென்றால்,   என்ற உறுப்பு இணையியத்துக்கு வேண்டிய செயல்பாட்டைச் சரிசெய்கிறது. அதாவது,
 
=  
=   ஏனென்றால்,  
=   ஏனென்றால்,  
  • மறுபடியும்,   இல்,
 
 

இணையியமும் சுழலமைப்பும்தொகு

தேற்றம்:   இல் இரண்டு வரிசைமாற்றங்கள் ஒரே சுழலமைப்புள்ளதாக இருந்தால், இருந்தால்தான், அவை இணையியங்களாக இருக்கும்.

முதலில் 'இருந்தால்தான்' பாகத்தை நிறுவுவோம்.

அதாவது வரிசைமாற்றங்கள்   வையும் அதன் இணையியம்   ஐயும் பார்ப்போம்.

  =   இதன் சுழலமைப்பு   வின் சுழலமைப்புதான்.

மாறாக, 'இருந்தால்' பாகத்தை நிறுவ,     என்ற இரண்டு வரிசைமாற்றங்கள் ஒரே சுழலமைப்பைப் பெற்றிருப்பதாகக் கொள்வோம்.இரண்டும் ஒரேசுழலமைப்பைப் பெற்றிருப்பதால்,அவைகளை பின்வருமாறு குறிகாட்டலாம்:

 
 

இப்பொழுது,   வும்   ம் இணையியங்கள் என்று காட்டுவோம்.

  என்ற ஒரு வரிசைமாற்றத்தை பின்வருமாறு வரையறை செய்யலாம்:

 
 
 
.....
 

ஆகக்கூடி, இப்பொழுது,   என்பதை எளிதில் சரிபார்ர்த்துவிடலாம்.   வும்   ம் இணையியங்கள். Q.E.D.

இவற்றையும் பார்க்கவும்தொகு

இயல்நிலை உட்குலம்