வரிசைமாற்றக்குலத்தில் இணையியத்தல்

கணிதத்தில் குலக்கோட்பாட்டில், குறிப்பாக, பரிமாற்றலற்ற குலங்களில், இணை இயத்தல் (Conjugation) என்ற செயல்பாடு குலத்தின் உட்கூறுகளை ஆழ்ந்து நோக்கப் பயன்படுகிறது. இக்கட்டுரை ஒற்றுமை வகுப்பு (Permutation group) இச்செயல்பாட்டைப் பற்றிப் பேசுகிறது.

இணையியம்

G ஒரு குலம் என்று கொள்க. $b\in G,a\in G$ இனுடைய இணையியம் (Conjugate) என்பதற்கு இலக்கணம்:

ஏதாவதொரு $g\in G$ க்கு, $b=gag^{-1}$.

எளிதாகவே இணையியத்தல் ஒருசமான உறவு என்று கண்டுகொள்ளலாம்.

$a$ என்ற ஓர் உறுப்புக்கு இணையியமாக உள்ளதையெல்லாம் ஒரு பகுதியில் போட்டால், $a$ இன் இணையியச் சமானப்பகுதி (Conjugate equivalence class of a)கிடைக்கும். உண்மையில்,

$a$ இன் இணையியச் சமானப்பகுதி = $\{gag^{-1}:g\in G\}$. இதற்குக்குறியீடு: $Cl(a).$

அவதானக் குறிப்பு

இணையியத்திற்காக உள்ள வாய்பாடு $b=gag^{-1}$ ஐ நினைவில் வைத்துக்கொள்ள பாமர வழக்கில் ஒரு குறிப்பு:

'கண்களை மூடு; பரம்பொருளை மனதில் நிறுத்து; மூடின கண்களைத்திற'. இதுதான் $gag^{-1}$.

வரிசைமாற்றக் குலங்களில் எடுத்துக் காட்டுகள்

• $S_{3}$ ஐ நோக்குவோம். உறுப்பு $(b)(ca),$ உறுப்பு $(a)(bc)$ இன் இணையியம். ஏனென்றால், $g=(c)(ab)$ என்ற உறுப்பு இணையியத்துக்கு வேண்டிய செயல்பாட்டைச் சரிசெய்கிறது. அதாவது,

$((c)(ab))((a)(bc))((c)(ab))^{-1}$

= $((c)(ab))((a)(bc))((c)(ab));$

= $((c)(ab))(acb);$ ஏனென்றால், $a\rightarrow b\rightarrow c,b\rightarrow a\rightarrow a,c\rightarrow c\rightarrow b.$

= $(b)(ac)$ ஏனென்றால், $a\rightarrow c\rightarrow c,b\rightarrow a\rightarrow b,c\rightarrow b\rightarrow a.$

• மறுபடியும், $S_{3}$ இல்,

$Cl((c)(ab))=\{(c)(ab),(b)(ac),(a)(bc)\}$

$Cl(abc)=\{(abc),(acb)\}$

இணையியமும் சுழலமைப்பும்

தேற்றம்: $S_{n}$ இல் இரண்டு வரிசைமாற்றங்கள் ஒரே சுழலமைப்புள்ளதாக இருந்தால், இருந்தால்தான், அவை இணையியங்களாக இருக்கும்.

முதலில் 'இருந்தால்தான்' பாகத்தை நிறுவுவோம்.

அதாவது வரிசைமாற்றங்கள் $\sigma$ வையும் அதன் இணையியம் $\tau \sigma \tau ^{-1}$ ஐயும் பார்ப்போம்.

$\tau \sigma \tau ^{-1}$ = ${\begin{pmatrix}i\\\tau (i)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}i\\\sigma (i)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\tau (i)\\i\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\tau (i)\\\tau \sigma (i)\end{pmatrix}}$ இதன் சுழலமைப்பு $\sigma$ வின் சுழலமைப்புதான்.

மாறாக, 'இருந்தால்' பாகத்தை நிறுவ, $\sigma$ $\sigma ^{*}$ என்ற இரண்டு வரிசைமாற்றங்கள் ஒரே சுழலமைப்பைப் பெற்றிருப்பதாகக் கொள்வோம்.இரண்டும் ஒரேசுழலமைப்பைப் பெற்றிருப்பதால்,அவைகளை பின்வருமாறு குறிகாட்டலாம்:

$\sigma =(a_{1}...a_{r})(b_{1}...b_{s})(c_{1}...c_{t})...(f_{1})(f_{2})...(f_{q})$

$\sigma ^{*}=(a_{1}^{*}...a_{r}^{*})(b_{1}^{*}...b_{s}^{*})(c_{1}^{*}...c_{t}^{*})...(f_{1}^{*})(f_{2}^{*})...(f_{q}^{*})$

இப்பொழுது, $\sigma$ வும் $\sigma ^{*}$ ம் இணையியங்கள் என்று காட்டுவோம்.

$\tau$ என்ற ஒரு வரிசைமாற்றத்தை பின்வருமாறு வரையறை செய்யலாம்:

$\tau (a_{i})=a_{i}^{*},i=1,...,r$

$\tau (b_{i})=b_{i}^{*},i=1,...,s$

$\tau (c_{i})=c_{i}^{*},i=1,...,t$

.....

$\tau (f_{i})=f_{i}^{*},i=1,...,q$

ஆகக்கூடி, இப்பொழுது, $\tau \sigma \tau ^{-1}=\sigma ^{*}$ என்பதை எளிதில் சரிபார்ர்த்துவிடலாம். $\therefore \sigma$ வும் $\sigma ^{*}$ ம் இணையியங்கள். Q.E.D.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

இயல்நிலை உட்குலம்