சுருள்வு (கணிதம்)

கணிதத்தில் சுருள்வு (involution) என்பது தனக்குத்தானே நேர்மாறாக அமையும் ஒரு சார்பாகும். அதாவது சார்பு f ஆனது சுருள்வுச் சார்பு எனில், f இன் ஆட்களத்திலமையும் அனைத்து x மதிப்புகளுக்கும் கீழுள்ள முடிவை அது நிறைவு செய்யும்^[1]:

சார்பு $f:X\to X$ ஒரு சுருள்வு எனில், அதனை ஒரு உறுப்பின்மீது இருமுறை தொடர்ந்து செயற்படுத்தும்போது அவ்வுறுப்பானது இறுதியில் எந்தவித மாற்றமும் அடையாது.

f(f(x))=x

பொதுப் பண்புகள் தொகு

எந்தவொரு சுருள்வும் ஒரு இருவழிக் கோப்பாகும்.
சுருள்வுக்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டாக முற்றொருமைச் சார்பு உள்ளது.

பிற எடுத்துக்காட்டுகள்: எண்கணிதத்தில் −1 ஆல் பெருக்கல், தலைகீழி காணல்; கணக் கோட்பாட்டில் நிரப்பு கணங்கள் காணல்; சிக்கலெண் இணையியம் காணல்;; வட்ட நேர்மாற்றம்; அரைத்திருப்பச் சுழற்சி

n = 0, 1, 2, … உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு கணத்தின் மீதான சுருள்வுகளின் எண்ணிக்கையைக் கீழுள்ள மீள்வரு தொடர்பால் காணலாம். இந்த மீளுறவு, கெயின்ரிச் ஆகஸ்ட் ரோத் (Heinrich August Rothe) என்ற ஜெர்மானிய கணிதவியலாளரால் 1800 இல் கண்டறியப்பட்டது:

a₀ = a₁ = 1;

a_n = a_{n − 1} + (n − 1)a_{n − 2}, for n > 1.

இந்தத் தொடர்முறையின் சில தொடக்க உறுப்புகள் 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232 (OEIS-இல் வரிசை A000085)

இந்த எண்கள் தொலைபேசி எண்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன.^[2]

f , g என்ற இரு சார்புகளுக்கு $g\circ f=f\circ g$ என்பது உண்மையாக ’இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே’, அவற்றின் தொகுப்பு $g\circ f$ ஒரு சுருள்வாகும்.^[3]
ஒற்றையெண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளின் மீது நடைவெறும் சுருள்வு ஒவ்வொன்றுக்கும், குறைந்தபட்சம் ஒரு நிலைத்த புள்ளியாவது இருக்கும். பொதுவாக, ஒரு சுருள்வு செயற்படுத்தப்படும் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை, அச்சுருள்வின் நிலைத்த புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை இரண்டும் ஒன்றுபோல ஒற்றையெண்களாக இருக்கும் அல்லது இரட்டை எண்களாக இருக்கும்.^[4]

கணிதக் களங்களில் சுருள்வு தொகு

முன் வகைநுண்கணிதம் தொகு

சுருள்வின் அடிப்படை எடுத்துக்காட்டுகளாக சார்புகள் உள்ளன.

சுருள்வுகளாக அமையும் சார்புகள்:

f(x)=-x

f(x)={\frac {1}{x}}

f(x)={\frac {-1}{x}}

(மேலுள்ள இரு சார்புகளின் தொகுப்புச் சார்பு)

f(x)=\ln \left({\frac {e^{x}+1}{e^{x}-1}}\right):x>0

(

R^{+}

இல் வரையறுக்கப்பட்டது)

யூக்ளிடிய வடிவவியல் தொகு

முப்பரிமாண யூக்ளிடிய வெளியில், ஒரு தளத்தில் நடைபெறும் எதிரொளிப்பு ஒரு சுருள்வாகும். ஒரு புள்ளியை தொடர்ந்து இருமுறை எதிரொளிக்கும்போது இறுதியில் கிடைக்கும் எதிருரு எடுத்துக்கொண்ட புள்ளியாகவே இருப்பதைக் காணலாம்.

புள்ளி எதிரொளிப்பும் ஒரு சுருள்வாகும். (புள்ளி எதிரொளிப்பு சுருள்வு மட்டுமே, அது ஒரு எதிரொளிப்பு இல்லை)

இந்த உருமாற்றங்கள் இரண்டும் கேண்மை சுருள்வுகளுக்கு (affine involution) எடுத்துக்காட்டுகளாகும்.

குலக் கோட்பாடு தொகு

ஒரு குலத்தில் ஒரு உறுப்பின் வரிசை 2 ஆக இருந்தால் அந்த உறுப்பு சுருள்வாகும்.

குலத்தின் ஒரு உறுப்பு a பின்வருமாறு இருந்தால் அது ஒரு சுருள்வு ^[5]:

a\not =e,a^{2}=e

, (e முற்றொருமை உறுப்பு)

மேற்கோள்கள் தொகு

↑ Russell, Bertrand (1903), Principles of mathematics (2nd ed.), W. W. Norton & Company, Inc, pp. page 426, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9781440054167 {{citation}}: |pages= has extra text (help)
↑ Knuth, Donald E. (1973), The Art of Computer Programming, Volume 3: Sorting and Searching, Reading, Mass.: Addison-Wesley, pp. 48, 65, MR 0445948.
↑ Kubrusly, Carlos S. (2011), The Elements of Operator Theory, Springer Science & Business Media, Problem 1.11(a), p. 27, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780817649982.
↑ Zagier, D. (1990), "A one-sentence proof that every prime p ≡ 1 (mod 4) is a sum of two squares", American Mathematical Monthly, 97 (2): 144, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.2307/2323918, MR 1041893.
↑ John S. Rose. "A Course on Group Theory". p. 10, section 1.13.

Todd A. Ell (2007), "Quaternion involutions and anti-involutions", Computers & Mathematics with Applications, 53 (1): 137–143, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1016/j.camwa.2006.10.029 {{citation}}: Unknown parameter |coauthors= ignored (help)

மேலும் வாசிக்க தொகு

Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998), The book of involutions, Colloquium Publications, vol. 44, With a preface by J. Tits, Providence, RI: American Mathematical Society, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-8218-0904-0, Zbl 0955.16001

[1] Russell, Bertrand (1903), Principles of mathematics (2nd ed.), W. W. Norton & Company, Inc, pp. page 426, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9781440054167 {{citation}}: |pages= has extra text (help)

[2] Knuth, Donald E. (1973), The Art of Computer Programming, Volume 3: Sorting and Searching, Reading, Mass.: Addison-Wesley, pp. 48, 65, MR 0445948.

[3] Kubrusly, Carlos S. (2011), The Elements of Operator Theory, Springer Science & Business Media, Problem 1.11(a), p. 27, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780817649982.

[4] Zagier, D. (1990), "A one-sentence proof that every prime p ≡ 1 (mod 4) is a sum of two squares", American Mathematical Monthly, 97 (2): 144, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.2307/2323918, MR 1041893.

[5] John S. Rose. "A Course on Group Theory". p. 10, section 1.13.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]