சோம்பேறி உணவுவழங்குவோனின் தொடர்வரிசை

சோம்பேறி உணவுவழங்குவோனின் தொடர்வரிசை (lazy caterer's sequence) என்பது ஒரு வட்டை (பொதுவாக பீத்சா போன்ற வட்டுவடிவ உணவுவகைகள்) குறிப்பிட்ட எண்ணிகையளவு வெட்டுவதன் மூலம் பெறக்கூடிய அதிகபட்சத் துண்டுகளின் எண்ணிக்கைகளாலான தொடர்வரிசையாகும். எடுத்துக்காட்டாக ஒரு வட்டவடிவ பீத்சாவை, அதனுள் அமையும் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் மூன்று வெட்டுக்களைக் கொண்டு ஆறு துண்டுகளாகப் பிரிக்கலாம். மூன்று வெட்டுக்களும் உள்ளமைந்த ஒரு புள்ளியில் சந்திக்காதவை எனில், அதனை ஏழு துண்டுகளாகப் பிரிக்கலாம். இத்தொடர்வரிசையிலமையும் எண்கள் மையப் பல்கோண எண்கள் (central polygonal numbers) என அழைக்கப்படுகின்றன. இத்தொடர்வரிசைக்கு ஒத்ததாக, முப்பரிமாணத்தில் அணிச்சல் எண்களின் தொடர்வரிசை அமைகிறது.

வட்ட அப்பத்தை மூன்று நேர்வெட்டுக்களால் 7 துண்டுகளாகப் பிரித்தல்.

வாய்பாடும் நிறுவலும்

nவெட்டுக்களைக்கொண்டு பெறக்கூடிய அதிகபட்சத் துண்டுகளின் எண்ணிக்கை p. இவற்றின் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கான விளக்கப்படங்கள்.

n (n ≥ 0) வெட்டுக்களைக்கொண்டு பெறக்கூடிய அதிகபட்சத் துண்டுகளின் எண்ணிக்கை p எனில், அதற்கான வாய்பாடு:

$p={\frac {n^{2}+n+2}{2}}.$

ஈருறுப்புக் குணகங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த வாய்பாட்டைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

$p=1+{\dbinom {n+1}{2}}={\dbinom {n}{0}}+{\dbinom {n}{1}}+{\dbinom {n}{2}}.$

நிறுவல்

அடுத்தடுத்த தொடர் வெட்டுக்களால் கிடைக்கக்கூடிய அதிகபட்சத் துண்டுகளின் எண்ணிக்கை சோம்பேறி உணவுவழங்குவோனின் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளாக அமைகின்றன.

ஒரு வட்டத்தை n தடவைகள் வெட்டுவதால் கிடைக்கும் அதிகபட்சத் துண்டுகளின் எண்ணிக்கை:

p = f (n) எனக் கொள்ளப்படுகிறது.

இறுதி வெட்டுக்குமுன் கிடைக்கக்கூடிய அதிகபட்சத் துண்டுகளின் எண்ணிக்கைf (n − 1) ஆகவும் இறுதி வெட்டினால் அதனோடு, n துண்டுகள் அதிகமாகும்.

அதிகபட்சத் துண்டுகளைப் பெறுவதற்கு n ஆவது வெட்டானது அதற்கு முந்தைய வெட்டுகளை வட்டத்துக்குள் சந்திக்க வேண்டும்; ஆனால் முந்தைய வெட்டுக்கோடுகளின் சந்திப்புகளை சந்திக்கக் கூடாது.

இவ்வாறு, n ஆவது வெட்டின்கோடானது n − 1 இடங்களின் வெட்டப்பட்டு, n கோட்டுத்துண்டுகளாக ஆகும்.

இந்த ஒவ்வொரு கோட்டுத்துண்டும் (n − 1)-வெட்டினால் பெறப்பட்ட ஒரு வட்டத்துண்டை 2 பாகங்களாகப் பிரித்து, மொத்தத் துண்டுகளின் எண்ணிக்கையைச் சரியாக n என்ணிக்கையில் அதிகரிக்கச் செய்யும்.

புது வெட்டின் கோடு முந்தைய வெட்டுக் கோடு ஒவ்வொன்றையும் ஒரேயொரு முறைதான் சந்திக்கும் என்பதால், இதற்கு மேற்பட்ட கோட்டுத்துண்களை அது கொண்டிருக்க முடியாது.

ஏற்கனவே இல்லாத ஒரு சந்திப்புப் புள்ளியைப் பொறுத்து, வெட்டும் கத்தியை ஒரு சிறிய கோண அளவிற்குச் சுழற்றும்போது அந்த வெட்டுக் கோடானது முந்தைய கோடுகளனைத்தும் சந்திக்கும்.

எனவே, n வெட்டுகளுக்குப் பின் கிடைக்கக்கூடிய துண்டுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை:

$f(n)=n+f(n-1).$

இந்த மீள்வரு தொடர்பு வாய்பாட்டைத் தீர்க்க முடியும்:

$f(n)=n+(n-1)+f(n-2).$

$f(n)=n+(n-1)+(n-2)+\cdots +1+f(0).$

எந்தவொரு வெட்டையும் செய்வதற்கு முன்பாக இருக்கும் துண்டின் எண்ணிக்கை ஒன்று. எனவே, f (0) = 1

$f(n)=1+(1+2+3+\cdots +n).$

கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்தி இதனைச் சுருக்கலாம்:

$f(n)=1+{\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n^{2}+n+2}{2}}.$

பண்புகள்

• இவ்வெண்கள் ஒவ்வொன்றும் ஒரு முக்கோண எண் + 1 ஆக அமைகின்றன.

• இவை பிளாய்டின் முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு வரிசையிலுமுள்ள முதல் உறுப்பாகவும் உள்ளன.

பிலோய்த்தின் முக்கோணம்:

1
2	3
4	5	6
7	8	9	10
11	12	13	14	15

சோம்பேறி உணவுவழங்குவோனின் தொடர்வரிசை (பச்சை)

பெர்னூலியின் முக்கோணத்தின் மூன்றாம் நிரல் (k = 2) உறுப்புகள் அனைத்தும் ஒரு முக்கோண எண் + 1 ஆக இருப்பதால் அவை n (n ≥ 2), வெட்டுகளுக்கான சோம்பேறி உணவுவழங்குவோனின் தொடர்வரிசையை உருவாக்குகின்றன.

பாஸ்கலின் முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு வரிசையிலுமுள்ள முதல் 3 உறுப்புகளைக் கூட்டுவதன் மூலமும் இத்தொடர்வரிசையைப் பெறமுடியும்:

k n	0	1	2		கூட்டுத்தொகை
0	1	-	-		1
1	1	1	-		2
2	1	2	1		4
3	1	3	3		7
4	1	4	6		11
5	1	5	10		16
6	1	6	15		22
7	1	7	21		29
8	1	8	28		37
9	1	9	36		46

எனவே, n = 0 இலிருந்து துவங்கி, சோம்பேறி உணவுவழங்குவோனின் தொடர்வரிசை (OEIS-இல் வரிசை A000124)

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, ...

சோம்பேறி உணவுவழங்குவோனின் தொடர்வரிசைக்கு ஒத்த முப்பரிமாண எண்ணாக அணிச்சல் எண் அமைகிறது. மேலும், அடுத்தடுத்த இரு அணிச்சல் எண்களின் வித்தியாசங்கள், சோம்பேறி உணவுவழங்குவோனின் தொடர்வரிசையில் அமைகின்றன.

சான்றுகள்

• Moore, T. L. (1991), "Using Euler's formula to solve plane separation problems", The College Mathematics Journal, Mathematical Association of America, 22 (2): 125–130, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.2307/2686448, JSTOR 2686448.

• Steiner, J. (1826), "Einige Gesetze über die Theilung der Ebene und des Raumes ("A Few Statements about the Division of the Plane and of Space")", J. Reine Angew. Math., 1: 349–364.

• Wetzel, J. E. (1978), "On the division of the plane by lines" (PDF), American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 85 (8): 647–656, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.2307/2320333, JSTOR 2320333, archived from the original (PDF) on 2011-07-21, பார்க்கப்பட்ட நாள் 2008-12-15.

வெளி இணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Circle Division by Lines", MathWorld.