அடர்த்தியான கணம்

X என்பது இடவியல்வெளி என்க. A என்பது அதன் உட்கணம் என்க. X-இல் அமைந்துள்ள ஒவ்வொரு புள்ளி (x) உம் உட்கணம் A இல் அல்லது A-ன் எல்லைப் புள்ளியாகவோ அமைந்தால் 'A' என்பது X-ல் அடர்த்தியான கணம் (Dense set) எனப்படும். அதாவது, X- இல் அமைந்துள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் 'A' -லோ அல்லது A-ன் உறுப்புகளுக்கு மிக நெருக்கமாகவோ அமையும். உதாரணமாக ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணும் ஒரு விகிதமுறு எண்ணாகவோ அல்லது அவைகளுக்கு நெருக்கமாகவோ அமையும்.

மெட்ரிக் வெளியில் அடர்த்தியான கணம்

X என்பது மெட்ரி வெளி எனில், A- ன் அடைப்பு (closure) Ā என்பது கணம் A மற்றும் 'A'-ன் எல்லைப் புள்ளிகளின் சேர்ப்பு ஆகும். அதாவது

${\overline {A}}=A\cup \{\lim _{n}a_{n}:\forall n\geq 0,\ a_{n}\in A\}$

எனவே,

${\overline {A}}=X$ எனில் A என்பது X இல் உள்ள அடர்த்தியான கணமாகும்.

• $\displaystyle A\;\subseteq \;\{\lim _{n}a_{n}:\,\forall n\;\geq \;0,\,\ a_{n}\in A\}$
• $\displaystyle \{U_{n}\}$ என்பது அடர்த்தியான திறந்தவெளிகணம் எனில்$\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}$ என்பதும் அடர்த்தியான கணம்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

1. விகிதமுறு எண்களின் கணம், மெய்யெண்களின் எண்ணிடத்தக்க அடர்த்தியான உட்கணமாகும்.
2. விகிதமுறா எண்களின் கணம், மெய்யெண்களின் அடர்த்தியான உட்கணமாகும்.

பண்புகள்

• ஒவ்வொரு இடவியல் கணமும் தனக்குத்தானே ஒரு அடர்த்தியான உட்கணமாகும்.
• அடர்த்தித்தன்மை ஒரு கடப்பு உறவு:

இடவியல் வெளி X இல் A ⊆ B ⊆ C என்றமைந்த மூன்று உட்கணங்கள் A, B C என்க. A கணமானது B இல் அடர்த்தியானதாகவும், B கணமானது C இல் அடர்த்தியானது எனில், A ஆனது C இலும் அடர்த்தியானதாக இருக்கும்.

உசாத்துணை

1. Kleiber, Martin; Pervin, William J. (1969). "A generalized Banach-Mazur theorem". Bull. Austral. Math. Soc. 1: 169–173. doi:10.1017/S0004972700041411.
2. Nicolas Bourbaki (1989) [1971]. General Topology, Chapters 1–4. Elements of Mathematics. Springer-Verlag. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 3-540-64241-2.
3. Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-486-68735-3, MR 507446