ஆறகல் பகாத்தனி

கணிதத்தில் ஆறகல் பகாத்தனி அல்லது செக்சி பகாத்தனி (sexy prime) என்பது ஆறால் (6) வேறுபடும் இரண்டு பகாத்தனி எண்கள் ஆகும். ஆறகல் = ஆறு + அகல் = ஆறால் அகன்று வேறுபடுவது. ஒரு பகாத்தனியை p என்று குறித்தால் இந்த ஆறகல் பகாத்தனி இரணையை (p, p + 6) எனக் குறிக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக 5, 11 ஆகிய இரண்டு எண்களும் பகாத்தனிகள் (பகா எண்கள்), அவற்றுக்கு இடையே வேறுபாடாக 6 உள்ளது, ஆகவே (5, 11) இரணை ஆறகல் பகாத்தனி ஆகும்.

ஆறகல் பகாத்தனியின் செக்சி பிரைம் (sexy prime) என்னும் ஆங்கில கலைச்சொல்லில் உள்ள "sex" என்பது இலத்தீன் மொழியில் உள்ள எண்ணிக்கை (6) ஆறு என்னும் பொருளில் இருந்து பெற்றது.

குழு வகைகள்

ஆறகல் பகாத்தனி இரணைகள்

500 ஐ விட சிறிய பகா எண்களில் காணப்படும் ஆறகல் பகாத்தனிகள் (வரிசைகள் A023201, மற்றும் A046117 in OEIS):

(5,11), (7,13), (11,17), (13,19), (17,23), (23,29), (31,37), (37,43), (41,47), (47,53), (53,59), (61,67), (67,73), (73,79), (83,89), (97,103), (101,107), (103,109), (107,113), (131,137), (151,157), (157,163), (167,173), (173,179), (191,197), (193,199), (223,229), (227,233), (233,239), (251,257), (257,263), (263,269), (271,277), (277,283), (307,313), (311,317), (331,337), (347,353), (353,359), (367,373), (373,379), (383,389), (433,439), (443,449), (457,463), (461,467).

நவம்பர் 2005 வரையான காலப்பகுதியில், கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஆறகல் பகாத்தனிகளிலேயே மிகப்பெரிய எண், சென்சு குரூசெ ஆண்டர்சன் (Jens Kruse Andersen) கண்டுபிடித்த 10154 இலக்கங்கள் கொண்ட தாகும். இவ் இரட்டை (இரணை) எண்கள் (p, p+6) :p = (48011837012 · ((53238 · 7879#)² - 1) + 2310) · 53238 · 7879#/385 + 1, இதில் 7879# என்பது பகாத்தனிபெருக்கெண் (primorial).

ஆறகல் மூப்பகாத்தனி

ஆறகல் பகாத்தனிகள் இரண்டு பகா எண்களையும் மீறி மூன்று பகா எண்கள் தங்களுக்குள் ஒன்றுக்கொன்று ஆறால் வேறுபடுமாறு அமையும் மூப்பகாத்தனிகளும் உண்டு. மூப்பகாத்தனி (மூன்று பகாத்தனி எண் கூட்டத்தை) (p, p + 6, p + 12) என்று குறிக்கலாம். அதே நேரத்தில் p + 18 என்பது ஒரு பகு எண் ஆக இருக்கும். 1000 கும் சிறியதாக உள்ள பகா எண்களில் மூப்பகாத்தனிகள் (A046118, A046119, A046120):

(7,13,19), (17,23,29), (31,37,43), (47,53,59), (67,73,79), (97,103,109), (101,107,113), (151,157,163), (167,173,179), (227,233,239), (257,263,269), (271,277,283), (347,353,359), (367,373,379), (557,563,569), (587,593,599), (607,613,619), (647,653,659), (727,733,739), (941,947,953), (971,977,983).

ஏப்ரல், 2006 வரையிலுமான காலப்பகுதியில் அறியப்பட்ட மிகப்பெரிய மூப்பகாத்தனி, கென் டேவிசு (Ken Davis) என்பார் கண்டுபிடித்த 5132 இலக்கங்கள் கொண்ட எண்கள் ஆகும்:

p = (84055657369 · 205881 · 4001# · (205881 · 4001# + 1) + 210) · (205881 · 4001# - 1) / 35 + 1.

ஆறகல் நாற்பகாத்தனி (நான்கு ஆறகல் பகாத்தனி குழு)

ஒன்றுக்கு ஒன்று ஆறால் வேறுபடும் நான்கு பகா எண்களும் உண்டு. இவற்றை p, p + 6, p + 12, p + 18 என குறிக்கலாம். இந்த நான்கு எண்கள் குழுவை ஆறகல் நாற்பகாத்தனி என்று அழைக்கிறோம். இந்த நான்கு எண் குழு ஒவ்வொன்றும், ஐந்தில் (p = 5) தொடங்கும் குழுவைத் தவிர, முதல் எண்ணின் கடைசி இலக்கம் 1 ஆக இருக்கும். 1000 கும் சிறியதான பகா எண்களில் ஆறகல் நாற்பகாத்தனிகள்: (A023271, A046122, A046123, A046124):

(5,11,17,23), (11,17,23,29), (41,47,53,59), (61,67,73,79), (251,257,263,269), (601,607,613,619), (641,647,653,659).

நவம்பர், 2006 ஆம் ஆண்டு வரையிலும் கண்டுபிடித்த ஆறகல் நாற்பகாத்தனிகளிலேயே மிக பெரியது சென்சு குரூசெ ஆண்டர்சன் (Jens Kruse Andersen) கண்டுபிடித்த 1002 இலக்கங்களைக் கொண்ட எண் ஆகும்:

p = 411784973 · 2347# + 3301.

ஆறகல் ஐம்பகாத்தனி

கணிதக் கூட்டடுக்கு வரிசை (arithmetic progression) முறைப்படி ஐந்து எண்கள் ஒன்றுக்கு ஒன்று 6 கூடுதலாக அமைந்திருந்தால், அவற்றுள் ஒன்று ஐந்தால் (5 ஆல்) வகுபடும். ஆகவே இந்த ஆறகல் ஐம்பகாத்தனியில், 6 ஐ விட சிறியதான எண்ணில் தொடங்கும் ஒரே ஒரு குழுதான் உண்டு: (5,11,17,23,29).

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• இரட்டைப் பகாத்தனி (இரண்டு பகா எண்கள் தங்களுக்குள் 2 ஆல் வேறுபடுவன) (ஈரகல் பகாத்தனி)
• பங்காளிப் பகாத்தனி (இரண்டு பகா எண்கள் தங்களுக்குள் 4 ஆல் வேறுபடுவன) (நாலகல் பகாத்தனி)

மேற்கோள்களும் அடிக்குறிப்புகளும்

• Weisstein, Eric W., "Sexy Primes", MathWorld. Retrieved on 2007-02-28 (requires composite p+18 in a sexy prime triplet, but no other similar restrictions)