இடைநிலை மதிப்புத் தேற்றம்

கணிதத்தில் இடைநிலை மதிப்புத் தேற்றத்தின்படி (intermediate value theorem), ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பின் எதிருருவின் குறைந்தபட்ச வரம்பிற்கும் அதிகபட்ச வரம்பிற்கும் இடையிலமையும் ஒரு மதிப்பினைச் சார்பின் எதிருருவாகக் கொண்டு, குறைந்தபட்சம் ஒரு புள்ளியாவது அச்சார்பின் ஆட்களத்தில் இருக்கும்.

தேற்றம்

படிவம் I.

மூடிய இடைவெளி [a, b] இல் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு தொடர்ச்சியான மெய்மதிப்புச் சார்பு f . f(a) மற்றும் f(b) இரண்டிற்கும் இடைப்பட்டதொரு எண் u எனில், f(c) = u ; c ∈ (a, b) என்றவாறு ஒரு எண் c இருக்கும்.

படிவம் II.

I என்பது மெய்யெண் இடைவெளி [a, b]. f : I → R ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு. இச்சார்பின்கீழ் அமையும் எதிருரு f(I) ம் [f(a), f(b)], அல்லது [f(b), f(a)] என்ற இடைவெளியாக இருக்கும்.

f(I) ⊇ [f(a), f(b)], அல்லது f(I) ⊇ [f(b), f(a)].

இதற்குச் சமானமான வடிவம்:

f : [a, b] → R ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு மற்றும் f(a) < u < f(b) or f(a) > u > f(b) என்றவாறுள்ள ஒரு மெய்யெண் u எனில் f(c) = u ,c ∈ (a, b), என ஒரு எண் c அமையும்.

விளக்கம்

[1, 2] இடைவெளியில் f ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு மற்றும் f(1) = 3 ; f(2) = 5 எனில் இத்தேற்றத்தின்படி 1, 2 க்கு இடையே ஏதேனும் ஒரு மதிப்பிற்காவது f ஆனது 4 என்ற மதிப்பினை அடையும்.

இத் தேற்றத்தின் முடிவிலிருந்து மூடிய இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பின் வரைபடம் வரைபடத்தாளில் பென்சிலை இடையிடையே எடுக்க வேண்டிய அவசியமில்லாமல் தொடர்ச்சியாக வரையப்படும் என்பதை அறியலாம்.

இத் தேற்றம் மெய்யெண்களின் முழுமைத்தன்மையைச் சார்ந்திருக்கிறது. விகிதமுறு எண்களில் (Q) இத் தேற்றம் உண்மையாவதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக,

f(x) = x² − 2 ,x ∈ Q எனில்,

f(0) = −2 மற்றும் f(2) = 2. ஆனால் √2 ஒரு விகிதமுறா எண் என்பதால் f(x) = 0 என்றவாறுள்ள x எனும் விகிதமுறு எண் இல்லை.

u = 0 எனில் கிடைக்கும் இத்தேற்றத்தின் கூற்று, பொல்சானோ தேற்றம்(Bolzano's theorem) ஆகும். கணிதவியலாளர் பெர்னார்ட் பொல்சானோவால் 1817 ஆம் ஆண்டில் பொல்சானோ தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டது. கணிதவியலாளர் அகஸ்டின் லூயிஸ் கோஷியும் 1821 இல் இதனை நிரூபித்தார்.^[1]

மறுதலை உண்மையல்ல

இடைநிலை மதிப்புத் தேற்றத்தின் மறுதலை உண்மையில்லை.

எடுத்துக்காட்டு:

f : [0, ∞) → [−1, 1] என்ற சார்பின் வரையறை:

f(x) = sin(1/x) , x > 0 மற்றும் f(0) = 0.

இச் சார்புக்கு இந்த இடைவெளியில், இடைநிலை மதிப்பு உள்ளது. ஆனாலும் x இன் மதிப்பு பூச்சியத்தை அணுகும்போது இச் சார்பின் மதிப்பு வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் x = 0 இல் சார்பு தொடர்ச்சியற்று உள்ளது.

மேற்கோள்கள்

↑ Grabiner, Judith V. (March 1983). "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus". The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 90 (3): 185–194. doi:10.2307/2975545 இம் மூலத்தில் இருந்து 2003-03-30 அன்று. பரணிடப்பட்டது.. https://web.archive.org/web/20030330014235/http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf. பார்த்த நாள்: 2013-11-19

வெளி இணைப்புகள்

Intermediate value Theorem – Bolzano Theorem at cut-the-knot
Bolzano's Theorem by Julio Cesar de la Yncera, Wolfram Demonstrations Project.
MathWorld - Bolzano's Theorem^{[தொடர்பிழந்த இணைப்பு]}
IntermediateValueTheorem

[grabiner-1] Grabiner, Judith V. (March 1983). "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus". The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 90 (3): 185–194. doi:10.2307/2975545 இம் மூலத்தில் இருந்து 2003-03-30 அன்று. பரணிடப்பட்டது.. https://web.archive.org/web/20030330014235/http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf. பார்த்த நாள்: 2013-11-19

[1]