உள்வெளி

கணிதத்தின் ஒரு பிரிவான நேரியல் இயற்கணிதத்தில் திசையன் வெளி என்ற கருத்துடன் கூடவே திசையன் உள்வெளி (Vector subspace) என்ற கருத்தும் உண்டு.

வரையறை

V என்ற திசையன் வெளியில் அடங்கிய S என்ற ஒரு வெற்றில்லாத உட்கணம், V இலுள்ள அதே கூட்டலுக்கும் அளவெண் பெருக்கலுக்கும் ஒரு திசையன் வெளியாகுமானால் அது V இனுடைய (திசையன்) உள்வெளி எனப் பெயர் பெறும்.

எடுத்துக்காட்டாக, யூக்ளிடின் தளம் $V_{2}$ வை எடுத்துக்கொள்வோம். தொடக்கப்புள்ளி வழியாகச்செல்லும் எந்த நேர்கோடும் ஒரு உள்வெளி.

யூக்ளிடின் முப்பரிமாண வெளி $V_{3}$ இல், தொடக்கப்புள்ளி வழியாகச் செல்லும் எந்த நேர்கோடும், எந்தத் தளமும் உள்வெளிகளே.

சுருங்கச்சொன்னால், திசையன்வெளி V இல், ஒரு குறிப்பிட்ட உறுப்பு $u_{0}$ இன் எல்லா அளவெண் மடங்குகளும் சேர்ந்து ஒரு உள்வெளியாகும்.

வரையறைப்படி பார்த்தால் ஒவ்வொரு முறை உள்வெளி என்று உறுதிப்படுத்துவதற்கும் திசையன்வெளியின் எல்லா நிபந்தனைகளையும் சரிபார்க்கவேண்டும் தான். ஆனால், இரண்டே நிபந்தனைகளைச் சரிபார்த்தால் போதும் என்பதற்கு ஒரு தேற்றத்தை நிறுவமுடியும். அத்தேற்றத்தின்படி,

V என்ற திசையன் வெளியில் அடங்கிய S என்ற ஒரு வெற்றில்லாத உட்கணம், ஒரு உள்வெளி யாவதற்கு கீழுள்ள இரண்டும் சரிபார்க்கப்பட்டால் போதும்:

(உ.வெ. 1) S இல் உள்ள எந்த u, v க்கும், $u+v\in S$;

(உ.வெ. 2) $\alpha$ ஒரு அளவெண்ணானால், S இல் உள்ள எந்த u க்கும், $\alpha u\in S.$

சில சார்பு வெளிகளில் உள்வெளிகள்

குறிப்பு: வெளிகளின் குறியீடுகளுடைய விபரங்களுக்கு இங்கே பார்க்கவும்.

கீழேயுள்ள உட்கணக்குறியீடுகள் காட்டும் உட்கணங்களெல்லாம் உள்வெளிகளே:

${\mathcal {P}}_{\mathbf {R} }[a,b]\subset {\mathcal {F}}_{\mathbf {R} }[a,b]$,

ஒவ்வொரு $1\leq m\leq n$ க்கும், ${\mathcal {C}}_{\mathbf {R} }^{\infty }[a,b]\subset {\mathcal {C}}_{\mathbf {R} }^{(n)}[a,b]\subset {\mathcal {C}}_{\mathbf {R} }^{(m)}[a,b]\subset {\mathcal {C}}_{\mathbf {R} }^{(1)}[a,b]\subset {\mathcal {C}}_{\mathbf {R} }[a,b]\subset {\mathcal {F}}_{\mathbf {R} }[a,b]$.

உள்வெளிகளின் வெட்டு

V ஒரு திசையன் வெளியெனக்கொள்வோம்.

• $U$ வும் $W$ வும் இரண்டு உள்வெளிகளானால், $U\cap W$ வும் ஒரு உள்வெளிதான்.

இதனுடைய முக்கியமான விளைவுகளில் ஒன்று ஒருங்கமைச்சமன்பாடுகளை விடுவிக்கும்போது ஏற்படுகிறது. கீழேயுள்ள மூன்று சமன்பாடுகளையும் சரியாக்கும் n-திசையன்களை எடுத்துக்கொள்வோம்:

$W=\{{\overline {x}}=(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in V_{n}$ : (1), (2), (3) ஐ சரியாக்குகிறது}

$\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+...+\alpha _{n}x_{n}=0$ ....... (1)

$\beta _{1}x_{1}+\beta _{2}x_{2}+...+\beta _{n}x_{n}=0$ ....... (2)

$\gamma _{1}x_{1}+\gamma _{2}x_{2}+...+\gamma _{n}x_{n}=0$ .......(3)

இதனால் $W=W_{1}\cap W_{2}\cap W_{3}$; இங்கு $W_{i}$, i = 1,2,3 என்பது 1-வது, 2-வது, 3-வது சமன்பாட்டின் விடைத்திசையன்களின் கணம்.

உள்வெளிகளின் ஒன்றிப்பு

U, W இரண்டும் V இன் உள்வெளிகள் எனக்கொள்வோம்.

இரண்டு உள்வெளிகளின் ஒன்றிப்பு உள்வெளியாக இருக்கவேண்டிய அவசியமில்லை. ஆனால் $[U\cup W],$ அதாவது, $U\cup W$ இன் அளாவல் $U\cup W$ ஐ அடக்கிய மிகச்சிறிய உள்வெளி. மற்றும் $U+W=\{u+w:u\in U,w\in W\}$ ஒரு உள்வெளிதான். உண்மையில்,

$U+W=[U\cup W]$

என்று எளிதில் காட்டிவிடலாம்.

இதற்கு மேலும் $U\cap W=\{{\overline {0}}\}$ ஆக இருக்குமானால், U + W ஐ ஒரு நேரிடைக்கூட்டல் (direct sum) என்று சொல்வோம். இதற்கு கணிதவழக்குப்படி ஒரு பொதுக்குறியீடு உள்ளது: அ-து, $U\oplus W$.

முடிவுறு பரிமாணமுள்ள திசையன்வெளியின் உள்வெளி

V ஒரு முடிவுறு பரிமாணமுள்ள திசையன்வெளியென்று கொள்வோம்.

• V இன் ஒவ்வொரு உள்வெளி U க்கும்,

$dimU\leqslant dimV$ .

U , V இரண்டும் ஒன்றாக ஆகும்போதுதான் பரிமாணங்களும் சமமாக இருக்கும்.

• U, W இரண்டு உள்வெளிகளானால்,

$dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U\cap W)$

• $U,W$ இரண்டும் $U\cap W=\{{\overline {0}}\}$ ஆக இருக்கும்படி இரண்டு உள்வெளிகளானால்,

$dim(U\oplus W)=dimU+dimW$