ஒருங்கிணைந்து மூடியது

கணிதத்தில், குறிப்பாக கருத்து இயற்கணிதத்தில், "ஒருங்கிணைந்து மூடியது" என்ற கருத்து குலம் மற்றும் வளையத்தில் வெவ்வேறு அா்த்தங்களை கொண்டது.

பரிமாற்று வளையங்கள்

வளையம் S இல் உள்ள  பாிமாற்று வளையம்$R$ ,ஆனது  S இல் ஒருங்கிணைந்து மூடியது என்பதின் பொருள்  என்னவென்றால்  $R$ ஆனது S இல் உள்ள ஒருங்கிணைந்து மூடிய $R$க்கு சமம். அதாவது, R இல் கெழுக்களைக் கொண்ட  ஒவ்வொரு தலையொற்றை அடுக்குச்சார்பு f  யின் ஒவ்வொரு மூலமும் S யில் மட்டுமல்லாது $R$ ஏதேனும் ஒருங்கிணைந்து மூடிய ஆட்களம் முழுவளையத்தினை சாராமல் இருந்தால், பின்னங்கள் புலத்தில் ஒருங்கிணைந்து மூடிய வளையம் என பாெருள்படும்.

ஒரு வளையம் ஆட்களமாக இல்லாதிருந்தால், பொதுவாக  ஒருங்கிணைந்து மூடியது என்பதன் பொருள் ஒவ்வொரு அண்மை வளையமும் ஒருங்கிணைந்து மூடிய ஆட்களம் ஆகும்.

சில வேளைகளில் ஒருங்கிணைந்து மூடிய ஆட்களம் "இயல்நிலை"  எனப்படுகிறது. இது ஒருங்கிணைந்து மூடியது என பெயரளவில் கருதப்படுகிறது. பெயாின் அலகாக்கல் என்பது, எளிமையாக சொன்னால்ஒருங்கிணைந்து மூடிய வளையங்களில் சிறப்பானது என பொருள்படும்.

வரிசைபடுத்தப்பட்ட குலம்

ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட குலம் G ஒருங்கிணைந்து மூடியது எனில் G யில் உள்ள எல்லா உறுப்புகள்  a மற்றும் b களுக்கும், அனைத்து இயல்எண் n , aⁿ ≤ b எனில்   a ≤ 1 என்பது சாியாகும்.

இந்த பண்பு வரிசை குலம் ஒரு ஆா்க்கிமீடியன் என்பதை வலுவாக்குகிறது. பின்னல் வரிசை குலம் ஒருங்கிணைந்து மூடியது எனில் அது ஆா்க்கிமீடியனுக்கு சமமாகும். ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைந்து மூடிய திசையுறு குலமும் பரிமாற்று குலம் ஆகும் என்பது ஆச்சாியப்படுத்தும்  தேற்றம் ஆகும்.ஒவ்வொரு திசையுறு குலமும் முழுப் பின்னல் வரிசை குலத்தில் பொதிந்துள்ளது  if and only if ஒருங்கிணைந்து மூடியது ஆகும்.  மேலும் ஒவ்வொரு ஆா்கிமீடியன் பின்னல் வரிசை குலமும் ஒரு பரிமாற்று ஆகும்.

மேற்கோள்கள்

• R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer-Verlag (1977)
• M. Atiyah, I. Macdonald Introduction to commutative algebra Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969
• H. Matsumura Commutative ring theory. Translated from the Japanese by M. Reid. Second edition. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8.
• A.M.W Glass, Partially Ordered Groups, World Scientific, 1999