ஒற்றைக்குலம்

நுண்புல இயற்கணிதத்தில் ஒற்றைக்குலம் அல்லது அலகுள்ள அரைக்குலம் (monoid) என்பது ஒரு இயற்கணித அமைப்பாகும். ஒரு கணமானது சேர்ப்புப் பண்பு கொண்ட ஈருறுப்புச் செயலியுடன் இணைந்து அச்செயலிக்குரிய முற்றொருமை உறுப்பையும் கொண்டிருந்தால் அக்கணமும் அச்செயலும் சேர்ந்த அமைப்பு ஒற்றைக்குலம் அல்லது அலகுள்ள அரைக்குலம் எனப்படும். ஒற்றைக்குலமானது முற்றொருமை உறுப்புக் கொண்ட அரைக்குலமாகையால் அது அரைக்குலக் கோட்பாட்டின் கீழ் அமைகிறது. கணிதத்தின் பல கிளைகளில் ஒற்றைக்குலங்கள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக வகுதிக்கோட்பாட்டில் ஒற்றைக்குலங்கள் ஒரு பொருள்கொண்ட வகுதிகளாகக் கருதப்படுகின்றன. கணினி அறிவியலில், அடிப்படை அம்சங்களிலும் திட்டமிடல் வரையியலிலும் ஒற்றைக்குலங்கள் பயன்படுகின்றன.

வரையறை

ஒரு கணம் S, • என்ற ஈருறுப்புச் செயலியுடன் சேர்ந்து பின்வரும் மூன்று அடிக்கோள்களை நிறைவு செய்யுமானால் அது ஒற்றைக்குலம் எனப்படும்.

• அடைவுப் பண்பு: S கணத்திலுள்ள அனைத்து உறுப்புகள் a, b க்கும் a • b ன் மதிப்பு S ன் உறுப்பாகும்.
• சேர்ப்புப் பண்பு: S கணத்திலுள்ள அனைத்து உறுப்புகள் a, b மற்றும் c க்கும் (a • b) • c = a • (b • c) என்பது உண்மையாகும்.
• முற்றொருமை உறுப்பு (Identity element): S கணத்திலுள்ள ஒவ்வொரு a உறுப்புக்கும்,

e • a = a • e = a என்றவாறு e என்ற முற்றொருமை உறுப்பு S ல் இருக்கும்.

அதாவது கணிதக் குறியீட்டில்,

• அடைவுப் பண்பு: $\forall a,b\in S:a\cdot b\in S$,
• சேர்ப்புப் பண்பு: $\forall a,b,c\in S:(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
• முற்றொருமை உறுப்பு: $\exists e\in S:\forall a\in S:e\cdot a=a\cdot e=a$.

சுருக்கமாக, முற்றொருமை உறுப்புடைய அரைக்குலம் ஒரு ஒற்றைக்குலமாகும். மேலும் ஒற்றைக்குலத்தின் அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் நேர்மாறு உறுப்பு இருந்தால் ஒற்றைக்குலம் ஒரு குலமாகும். ஒற்றைக்குலத்தைச் சேர்ப்புப் பண்பும் முற்றொருமையும் கொண்ட குலமனாகக் கருதலாம்.

எடுத்துக்காட்டு

• இயல் எண்களின் கணம் கூட்டல் செயலைப் பொறுத்தும் (முற்றொருமை 0) பெருக்கல் செயலைப் பொறுத்தும் (முற்றொருமை 1) ஒற்றைக்குலமாகும்.
• நேர்ம முழு எண்களின் கணம் பெருக்கலைப் பொறுத்து (முற்றொருமை 1) ஒற்றைக்குலமாகும்.