ஒழுங்கு அரைகுலம்

கணிதத்தில், ஓர் ஒழுங்குறு அரைகுலம் (ordered semigroup) என்பது ஒரு அரைகுலம் (S,•) உடன், பகுதி வாிசை ≤ என்பது ஒன்றுக்கொன்று பொருந்திய அரைகுல செயல்பாட்டைக் கொண்டதாகும். அதாவது, அனைத்து S இல் உள்ள அனைத்து x, y, z க்கும் x ≤ y ஆனால் z•x ≤ z•y and x•z ≤ y•z ஆகும்.

S என்பது ஒழுங்குறு ஒற்றைக் குலம், ஒழுங்குறு அரைகுலம் ஆனால், அவை முறையே ஒற்றைக்குலம், குலம் ஆகின்றன. இவையே பகுதி ஒழுங்குறுமை பெற்றிருந்தால், ஒழுங்குறு அரைக்குலங்கள் ஆகின்றன. பகுதி ஒழுங்குறு அரைகுலம், பகுதி ஒழுங்குறு குலம் பகுதி ஒழுங்குறு அலகு அரைக்குலம் என்ற சொற்கள் பயன்பாட்டில் உள்ளன.

நேரியல் முற்றெண்களும் எதிர்மறையற்ற முற்றெண்களும் முறையே, கூட்டலிலும் இயல் ஒழுங்கிலும், ஒழுங்குறு அரைகுலமாகவும் ஒழுங்குறு ஒற்றைக் குலமாகவும் அமையும்.

ஒவ்வொரு அரைகுலமும், எளிய(வரம்புறு) பகுதி ஒழுங்கு "=" அமைந்த, பகுதி ஒழுங்குறு அரைகுலமாகக் கருதப்படும்.

பகுதி ஒழுங்குறு அரைக்குலங்களின் உருவியம் அல்லது ஒத்த உருவியம் என்பது ஒழுங்கைச் சமமாக அதாவது, ஒரே வகையில் உயர்ந்து செல்லும் வகையில் பேணும், ஒழுங்குறு அரைக்குல ஒத்த உருவியம் ஆகும்.

அரைகுல வகுப்புகள் அனைத்தும் வலுவற்ற அரைகுலத்தின் பகுப்பாக பாா்க்கப்படுகிறது. பகுதி வரிசை அரைகுலம் (S,•,≤) என்ற மும்மடியாக குறிப்பிடப்படுகிறது).

வகையினக் கோட்பாட்டு விளக்கம்

பகுதி வரிசை அலகுள்ள அரைக்குலம் (M, •, 1, ≤) என்பது, m ≤ n எனக் கொண்டு, மீநெறியன் பெருக்கலை m எனவும் அலகை 1 எனவும் கொண்டால் மட்டுமே, அலகுள்ள அரைக்குல வகுப்பாகக் கருதப்படும். அப்போது தான் M இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் m இலிருந்து n க்குச் செல்லும்போது தனித்தன்மை வாய்ந்த சாா்பாகக் கருதப்படுகிறது.

மேற்கோள்கள்

• T.S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 1-85233-905-51-85233-905-5, chap. 11.