கேண்டரின் கோணல்கோடு நிறுவல்முறை

கேண்டரின் கோணல்கோடு நிறுவல்முறை அல்லது கேண்டரின் கோணல்கோடு வாதம் (Cantor's diagonal argument) என்பது கியார்கு கேன்ட்டர் என்ற கணித அறிஞர் மெய்யெண்கள் (real numbers) எண்ணவியலா முடிவிலிகள் (uncountably infinite) என்று நிறுவுதற் பொருட்டு கையாண்ட நிறுவல் முறையைக் குறிக்கும். இந்த கணித உண்மைக்கு அவர் ஏற்கனவே வேறு ஒரு முறையில் நிறுவல் வழங்கியிருந்தார் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. இருப்பினும், இதே முறையைக் கொண்டு பல முடிவிலி கணங்களின் (sets) எண்ணவியலா தன்மையை நிறுவ முடிந்தது. இதன் விளைவாக இவ்வாறான அனைத்து நிறுவல்களுக்கும் "கோணல்கோடு சார்பின் மாறி" என்பது பொதுப் பெயராயிற்று.

மெய்யெண்கள் தொடர்பான நிறுவல்

கேண்ட்டரின் சொந்த நிறுவல் [0,1] என்ற மெய்யெண் இடைவெளி எண்ணவியலா முடிவிலி என்பது தான்.

முரண்பாடு வகை நிறுவல் (proof by contradiction) பின்வருமாறு:

1. தற்கோள் (assumption) பொருட்டு [0,1] இடைவெளி எண்ணப்படக் கூடியது என்று வைத்துக் கொள்வோம்.
2. மேற்கண்ட தற்கோளின்படி இந்த இடைவெளியிலுள்ள ஒவ்வொரு எண்ணுடன் ஒரு இயல்பெண் (natural number) என்ற விகிதமாக தொடர்பு படுத்தி தொடர்வு ஒன்றை ஏற்படுத்துவோம். அது (r1, r2, r3, ... ) என்று இருக்கட்டும்.
3. நாம் ஏற்கனவே அறிந்திருந்தபடி ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணுக்கும் ஒரு பதின்பகுப்பு விரித்தல் (decimal expansion) இருக்கும்.
4. இந்த எண்களை இப்போது எந்த வகைப்படுத்தலும் இன்றி ஒரு குறிப்பில்வழி வரிசையில் எழுதவும். அந்த வரிசை பின்வருமாறு உள்ளது என்று வைத்துக் கொள்வோம்.

   r₁ = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...

   r₂ = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...

   r₃ = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...

   r₄ = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...

   r₅ = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...

   r₆ = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...

   r₇ = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...

   ...

5. இந்த வரிசையிலுள்ள ஒவ்வொரு எண்ணிலிருந்தும் புள்ளியிலிருந்து அதன் வரிசையெண் இடத்தில் இருக்கும் இலக்கத்தை எடுத்து [0,1] இடைவெளியில் ஒரு மெய்யெண்ணை உருவாக்குவோம். எடுத்துக் கொண்ட ஒவ்வொரு இலக்கமும் தடித்த அடிக்கோடிட்ட குறியீடுகளில் தரப்பட்டுள்ளது. இதன் தோற்றத்தின் காரணமாகவே இந்நிறுவல் முறைக்கு "கோணல்கோடு நிறுவல்முறை" என்ற பெயர் ஏற்பட்டது.

   r₁ = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...

   r₂ = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...

   r₃ = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...

   r₄ = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...

   r₅ = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...

   r₆ = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...

   r₇ = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...

   ...

6. தேர்ந்தெடுத்த இலக்கங்களைக் கொண்டு x என்ற ஓர் எண்ணைப் பின்வரும் முறையில் உருவாக்குவோம்.
   • k-ஆம் எண்ணின் k-ஆம் இலக்கத்தில் 5 இருந்தால் நாம் உருவாக்கும் எண்ணில் k-ஆம் இலக்கத்தில் 4 என்று எழுதுவோம்.
   • k-ஆம் எண்ணின் k-ஆம் இலக்கத்தில் 5-ஐத் தவிர வேறொரு எண்ணிருந்தால் நாம் உருவாக்கும் எண்ணில் k-ஆம் இலக்கத்தில் 5 என்று எழுதுவோம்.
7. நாம் மேற்கூறியவாறு உருவாக்கிய எண் (x) கண்டிப்பாக [0,1] இடைவெளியில் உள்ள ஒரு மெய்யெண்ணாகத் தான் இருக்க வேண்டும். ஏனெனில் இந்த எண்ணுக்கு ஒரு பதின்பகுப்பு விரிதல் உண்டு. அது நாம் எடுத்துக் கொண்ட எடுத்துக்காட்டு வரிசையில் பின்வருமாறு:

   x = 0 . 4 5 5 5 5 5 4 ...

8. நமது முதலாவது தற்கோளின்படி [0,1] இடைவெளியில் உள்ள அனைத்து மெய்யெண்களையும் ( r₁, r₂, r₃, ... ) நாம் வரிசைப் படுத்தி விட்டோம். ஆதலால், ஏதெனும் ஒரு n மதிப்புக்கு, r_n = x என்று இருக்க வேண்டும்.
9. ஆனால், நாம் 4 மற்றும் 5 என்ற இலக்கங்களை 6-ம் படியில் தேர்ந்தெடுத்த முறையின் காரணமாக, x இலக்கம் n^ல் r_nஇலிருந்து வேறுபடும்., ஆகவே, x பின்வரும் வரிசையில் ஒரு உறுப்பினராகாது.( r₁, r₂, r₃, ... ).
10. ஆகையால், அந்த வரிசை [0,1] இடைவெளியில் உள்ள அனைத்து மெய்யெண்களின் தொகுப்பாகாது. இது நம் முதல் தற்கோளோடு முரண்படுகிறது.
11. இதன்மூலம், நமது முதலாவது தற்கோள் (அதாவது [0,1] இடைவெளியிலுள்ள மெய்யெண்கள் எண்ணக்கூடியவை என்பது) தவறு என அறிகிறோம்.

மேலே நிறுவப்பட்ட முடிவின் நேரடி கிளைத்தேற்றம் (corollary) அல்லது துணை முடிவு மெய்யெண்கள் எண்ணவியலா முடிவிலிகள் என்பதாகும். ஏனெனில், மெய்யெண்களைக் கொண்ட கணத்தின் ஒரு சிறு உட்கணம் [0,1] என்ற இடைவெளி; இருந்தும் இந்த இடைவெளியே எண்ணவியலா முடிவிலி என்று நிறுவப்பட்டுள்ளது. தவிர, மெய்யெண்களின் கணத்திற்கும் [0,1] இடைவெளிக்கும் ஒரு இருவழிக்கோப்பு உறவு ஒன்றை ஏற்படுத்த முடியும். (0,1) என்ற திறந்த இடைவெளிக்கும் மெய்யெண் கணத்திற்கும் இடையே பின்வரும் உறவை ஏற்படுத்தலாம். $f\colon (0,1)\rightarrow \mathbb {R}$ defined by $f(x)=\tan \left(\pi \left(x-{\frac {1}{2}}\right)\right)$. இதன் மூலம், இந்த இடைவெளியும் மெய்யெண் கணமும் ஒரே எண்ணிக்கையிலான உறுப்புக்களைக் கொண்டுள்ளன என நிறுவலாம்.

இயல்பெண்களின் நிலை

இதே நிறுவல் முறையில் ஏன் இயல்பெண்களின் கணத்தையும் எண்ணவியலா முடிவிலி என்று நிறுவ முடியாது என்ற கேள்வி பொதுவாக எழுவது. அவ்வாறு ஏன் நிறுவ முடியாதென்றால், சுழி (பூஜ்யம்) அல்லாத இலக்கங்களைக் கொண்ட எந்த ஒரு பதின்பகுப்பு விரிதலும் இயல்பெண்ணாகாது. உண்மையில், இயல்பெண்களின் கணம் "எண்ணக்கூடிய" முடிவிலியாகும்.

வெளி இணைப்புகள்

• 1891-ம் ஆண்டு வெளிவந்த நிறுவலின் ஜெர்மன் மூலம், ஆங்கில உரையுடன்