சுட்டுச் சார்பு

கணிதத்தில் சுட்டுச் சார்பு (Indicator function) அல்லது சிறப்பியல்புச் சார்பு (characteristic function) என்பது, தான் வரையறுக்கபட்ட கணத்தின் (ஆட்களம்) ஏதேனுமொரு உட்கணத்ததைச் சேர்ந்ததாக ஒரு உறுப்பு இருக்குமா இல்லையா என்பதைச் சுட்டிக் காட்டும் இயல்புடைய சார்பாகும். அதாவது f சார்பின் ஆட்களம் X எனில், அக்கணத்தின் ஓர் உட்கணம் A இன் உறுப்புகளுக்கு இச்சார்பின் மதிப்புகள் 1 ஆகவும், A உறுப்புகளாக இல்லாதவற்றுக்கு 0 ஆகவும் இருக்கும்.

சதுரத்தின் இருபரிமாண உட்கணமொன்றின் சுட்டுச் சார்பின் வரைபடம்.

நிகழ்தவு கோட்பாட்டில் சிறப்பியல்புச் சார்பு என்ற பெயர் இச்சார்புக்குப் தொடர்பில்லாமல் இருப்பதால் அங்கு சுட்டுச் சார்பு என்றே அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை

X கணத்தின் உட்கணம் A இன் சுட்டுச் சார்பு, $\mathbf {1} _{A}:X\to \{0,1\}\,$ இன் வரையறை:

$\mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A,\\0&{\text{if }}x\notin A.\end{cases}}$

1_A(x) க்குப் பதிலாக [x ∈ A] என்றும் குறிக்கலாம் (Iverson bracket).

1_A சில சமயங்களில் 1_{A ∈ A}, χ_A அல்லது I_A அல்லது வெறுமனே A என்றும் குறிக்கப்படுகிறது. சிறப்பியல்பு (characteristic) என்பதன் கிரேக்கச் சொல்லின் முதல் எழுத்து χ .)

பண்புகள்

• சுட்டுச் சார்பு X இன் உறுப்புகளை வீச்சு {0,1} உடன் இணைக்கும் ஒரு கோப்பாகும்.

A ஒரு வெற்றற்ற தகு உட்கணமாக இருந்தால் மட்டுமே, இக்கோப்பு ஒரு உள்ளிடுகோப்பாக இருக்கும்.

A ≡ X எனில், 1_A = 1.

A ≡ Ø எனில், 1_A = 0.

A மற்றும் $B,$ X இன் இரு உட்கணங்கள் எனில்:

$\mathbf {1} _{A\cap B}=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\,$

$\mathbf {1} _{A\cup B}=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},$

$\mathbf {1} _{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} _{A}.$

பொதுவாக, $A_{1},\ldots ,A_{n},$ X இன் உட்கணங்கள் எனில்,

x ∈ X:

$\prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))$

$\prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.$

$\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}$

|F| என்பது F இன் அளவை எண்.

நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில், X ஒரு நிகழ்தகவு வெளி; அதன் நிகழ்தகவு அளவு $\mathbb {P}$; A ஒரு அளவிடக்கூடிய கணம் எனில் A இன் நிகழ்தகவுக்குச் சமமான எதிர்பார்ப்பு மதிப்புடைய சமவாய்ப்பு மாறியாக 1_A இருக்கும்

$\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,d\mathbb {P} =\int _{A}d\mathbb {P} =\operatorname {P} (A).\quad$

சராசரி, மாறுபாட்டெண், இணை மாறுபாட்டெண்

தரப்பட்ட நிகழ்தகவு வெளி -$\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ),$ $A\in {\mathcal {F}}$ எனில் சுட்டு சமவாய்ப்பு மாறி $\mathbf {1} _{A}:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ இன் வரையறை:

$\mathbf {1} _{A}(\omega )=1,\omega \in A,$

மற்றபடி

$\mathbf {1} _{A}(\omega )=0.$

சராசரி: $\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)$

மாறுபாட்டெண்: $\operatorname {Var} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)(1-\operatorname {P} (A))$

இணை மாறுபாட்டெண்: $\operatorname {Cov} (\mathbf {1} _{A}(\omega ),\mathbf {1} _{B}(\omega ))=\operatorname {P} (A\cap B)-\operatorname {P} (A)\operatorname {P} (B)$

மேற்கோள்கள்

• Folland, G.B. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (Second ). John Wiley & Sons, Inc.. 
• Thomas H. Cormen; Charles E. Leiserson; Ronald L. Rivest; Clifford Stein (2001). "Section 5.2: Indicator random variables". Introduction to Algorithms (Second Edition ). MIT Press and McGraw-Hill. பக். 94–99. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-262-03293-7. 
• Martin Davis, தொகுப்பாசிரியர் (1965). The Undecidable. New York: Raven Press Books, Ltd.. https://archive.org/details/undecidablebasic0000mart. 
• Stephen Kleene (1971) [1952]. Introduction to Metamathematics (Sixth Reprint with corrections). Netherlands: Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company. 
• George Boolos; John P. Burgess; Richard C. Jeffrey (2002). Computability and Logic. Cambridge UK: Cambridge University Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-521-00758-5. 
• Lotfi A. Zadeh (June 1965). "Fuzzy sets" (PDF). Information and Control 8 (3): 338–353. doi:10.1016/S0019-9958(65)90241-X. http://www-bisc.cs.berkeley.edu/zadeh/papers/Fuzzy%20Sets-1965.pdf. பார்த்த நாள்: 2013-10-07. 
• Joseph Goguen (1967). "L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications 18 (1): 145–174. doi:10.1016/0022-247X(67)90189-8.