சுழற்சி மேற்பரப்பு

யூக்ளிடிய வெளியில் ஒரு அச்சைப் பொறுத்து, ஒரு வளைகோட்டைச் சுழற்றும்போது உருவாகும் மேற்பரப்பானது சுழற்சி மேற்பரப்பு (surface of revolution) எனப்படும்.

x = 2 + cos z வளைகோட்டின் ஒரு பகுதியை z-அச்சைப் பொறுத்து சுழற்றப்படும்போது உருவாகும் மேற்பரப்பு.

எடுத்துக்காட்டாக,

• சுழற்சி அச்சுக்கு இணையாகவுள்ள ஒரு நேர்கோட்டினைச் சுழற்றுவதால் உருளை உருவாகிறது.
• சுழற்சி அச்சுக்கு இணையற்ற நேர்கோட்டினை சுழற்றுவதால் கூம்புவெட்டுகள் உருவாகின்றன.
• ஒரு வட்டத்தை அதன் ஏதாவது ஒரு விட்டத்தைப் பொறுத்து சுழற்றும்போது கோளம் உருவாகிறது.

பண்புகள்

• ஒரு சுழற்சி மேற்பரப்பை, அச்சின் வழியாகச் செல்லும் தளங்களால் வெட்டும்போது கிடைக்கும் வெட்டுமுகங்கள் நெடுவரை வெட்டுகள் (meridional sections) என அழைக்கப்படுகின்றன
• சுழற்சி மேற்பரப்பை, அச்சுக்குச் செங்குத்தான தளங்களால் வெட்டும்போது கிடைக்கும் வெட்டுமுகங்கள் வட்டங்களாக இருக்கும்.
• சில சிறப்புவகை அதிபரவளைவுருக்களும் பரவளையவுருக்களும் சுழற்சி மேற்பரப்புகளாக அமைகின்றன.

பரப்பளவு வாய்பாடு

சுழற்றப்படும் வளைகோட்டின்

1. துணையலகுச் சமன்பாடுகள்: x(t), y(t), (t இன் மதிப்பு [a,b] இடைவெளியில் அமையும்);
2. சுழற்சி அச்சு: y-அச்சு
3. சுழற்சி மேற்பரப்பின் பரப்பளவு (A_y) எனில்:

$A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt,$

இவ்வாய்பாட்டில் a, b ஆகிய இரு இறுதிப்புள்ளிகளுக்கு இடையே எவ்விடத்திலும் x(t) ஆனது எதிர்மமாக இருக்காது என எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. இவ்வாய்பாடு, பாப்பசின் திணிவுமையத் தேற்றத்தின் நுண்கணிதச் சமானமாக உள்ளது.

பித்தகோரசு தேற்றத்திலிருந்து வரும் வாய்பாட்டின் பகுதி ${\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}$ ஆனது வளைகோட்டின் வில்லின் ஒரு சிறுபகுதியைக் குறிக்கிறது. மேலும் 2πx(t) ஆனது இச்சிறுபகுதியின் பாதை ஆகும்.

இதேபோல சுழற்சி அச்சு x-அச்சாக இருந்து y(t) ஒருபோதும் எதிர்மம் இல்லையென்றும் இருந்தால், பரப்பளவின் வாய்பாடு:

$A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt.$

வளைகோடானது y = f(x), a ≤ x ≤ b (a ≥ 0) என்ற சார்பாகத் தரப்பட்டால், மேலுள்ள வாய்பாடுகளிலிருந்து பெறப்படும் பரப்பளவின் வாய்பாடு:

• சுழற்சி அச்சாக x-அச்சு இருக்கும்போது:

$A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\,dx$

• சுழற்சி அச்சாக y-அச்சு இருக்கும்போது:

$A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx$

எடுத்துக்காட்டாக,

y(t) = sin(t), x(t) = cos(t), (t இன் மதிப்பு [0,π] இல் அமையும்) என்ற வளைகோட்டின் சுழற்சியால் ஓரலகு ஆரங்கொண்ட கோள மேற்பரப்பு, உருவாக்கப்படுகிறது. அதன் பரப்பளவு:

${\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {{\big (}\cos(t){\big )}^{2}+{\big (}\sin(t){\big )}^{2}}}\,dt\\&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,dt\\&{}=4\pi .\end{aligned}}$

கோளத்தின் ஆரம் r, சமன்பாடு y(x) = √r² − x², சுழற்சி அச்சு x-அச்சு எனில் பரப்பளவு:

${\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,dx\\&{}=2\pi r\int _{-r}^{r}\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx\\&{}=2\pi r\int _{-r}^{r}\,dx\\&{}=4\pi r^{2}\,\end{aligned}}$

சுருள்வளையங்கள்

சதுரத்தின் சுழற்சியால் உருவான சுருள்வளையம்

ஒரு சுழற்சி மேற்பரப்பின் நடுவில் துளையும், சுழற்சி அச்சு அம்மேற்பரைப்பைச் சந்திக்காமலும் இருந்தால் அச் சுழற்சி மேற்பரப்பு சுருள்வளையம் என அழைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக,

• ஒரு செவ்வகத்தை அதன் ஒரு விளிம்புக்கு இணையான மற்றொரு கோட்டை அச்சாகக் கொண்டு சுழற்றக்கிடைக்கும் சுழற்சி மேற்பரப்பானது, செவ்வக வெட்டுமுகங்கொண்ட உள்ளீடற்ற வளையமாகக் கிடைக்கும்.
• சுழற்றப்படும் வடிவம் சதுரமாக இருப்பின் அச்சுருள்வளையத்தின் வெட்டுமுகம் சதுரமாக இருக்கும்.

இதேபோல சுழற்றப்படுவது வட்டமாக இருந்தால், உருவாகும் சுழற்சி மேற்பரப்பு உள்ளீடற்ற, வட்ட வெட்டுமுகங்கொண்ட வளையமாக இருக்கும். இது உருள்வளையம் என அழைக்கப்படுகிறது.