செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம்

யூக்ளிடிய வடிவவியலில் செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம் (orthodiagonal quadrilateral) என்பது நாற்கரங்களில் ஒரு வகையாகும். இந்நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் இரண்டும் ஒன்றையொன்று செங்குத்தாக வெட்டிக்கொள்ளும். மாறாக, அடுத்தடுத்து அமையாத இரு உச்சிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகள் செங்குத்தாக அமையும் நான்கு பக்கங்கள் கொண்ட ஒரு வடிவம் எனவும் இந்நாற்கரத்தைக் கூறலாம்.

சிறப்பு வகைகள்

பட்டம் ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம். இதன் ஒரு மூலைவிட்டம் இதன் ஒரு சமச்சீர் அச்சாக அமையும். ஒரு பட்டத்தின் நான்கு பக்கங்களையும் தொடுகோடுகளாகக் கொண்ட ஒரு வட்டம் அப்பட்டத்துக்குள் அமையும் என்பதால், பட்டங்கள் செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரங்களாகவும் தொடு நாற்கரங்களாகவும் அமைகின்றன.எனவே பட்டங்கள் தொடு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரங்களாகும்.^[1]

ஒரு சாய்சதுரம்], இரண்டு சோடி இணை பக்கங்கள் கொண்ட செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம். (அதாவது இணைகரமாகவும் உள்ள ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம்).

ஒரு சதுரமானது, பட்டம் மற்றும் சாய்சதுரத்தின் எல்லைநிலை வகையாகும். (சம கோணங்களுடைய பட்டம் மற்றும் சாய்சதுரம் ஒரு சதுரமாகும்). எனவே மூலைவிட்டங்கள் செங்குத்தாக அமைவதால் சதுரமும் ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம்.

பண்புகள்

எந்தவொரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரத்திற்கும் ஒரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றொரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும்.^[2]^{:p.136, #272;}^[3]

ஒரு செங்குத்து நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் வரிசையாக $a$ , $b$ , $c$ ,மற்றும் $d$ எனில்:

\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}

இதை பித்தகோரசு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தித் தருவிக்கலாம்.

நாற்கரத்தின் செங்குத்து மூலைவிட்டங்கள் இரண்டும் சந்திக்கும் புள்ளி, ஒரு மூலைவிட்டத்தை p₁ மற்றும் p₂ நீளமுள்ள துண்டுகளாகவும் மற்றொரு மூலைவிட்டத்தை q₁ மற்றும் q₂ நீளமுள்ள துண்டுகளாகவும் பிரித்தால்:

பித்தகோரசு தேற்றப்படி:

a^{2}=p_{1}^{2}+q_{1}^{2}

b^{2}=p_{2}^{2}+q_{1}^{2}

c^{2}=p_{2}^{2}+q_{2}^{2}

d^{2}=p_{1}^{2}+q_{2}^{2}

a^{2}+c^{2}=p_{1}^{2}+q_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{2}^{2}

b^{2}+d^{2}=p_{1}^{2}+q_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{2}^{2}

இவ்விரண்டு முடிவுகளில் இருந்தும்,

\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}

எனக் காணலாம்.

மறுதலையாக ஒரு நாற்கரத்தில்

\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}

என இருந்தால் அந்த நாற்கரம் ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரமாக இருக்கும்.^[4]

பரப்பு

ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நீளங்களின் பெருக்குத்தொகையில் பாதியாக அதன் பரப்பு அமையும். ^[5]

செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள் p, q எனில் அதன் பரப்பு K :

K={\frac {p\cdot q}{2}}.

மூலைவிட்டங்கள் தரப்பட்டிருக்கும் குவிவு நாற்கரங்களிலேயே மிகஅதிக அளவு பரப்பு கொண்டது செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம்தான்.

பிற பண்புகள்

பக்க நீளங்களும் மூலைவிட்டங்கள் உண்டாக்கும் கோணங்களும் மட்டுமே பரப்பின் மதிப்பைத் தீர்மானம் செய்யாத நாற்கரங்கள், செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரங்கள் மட்டுமே.^[3] எடுத்துக்காட்டாக ஒரே பக்க நீளம் a கொண்ட இரு சாய்சதுரங்களில் (சாய்சதுரம் ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம்) ஒன்றின் குறுங்கோணம் மற்றதன் குறுங்கோணத்தை விடச் சிறியதெனில், அவற்றின் பரப்புகள் சமமாக இல்லாமல் வெவ்வேறாக இருக்கும்.
ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரத்தின் ஒவ்வொரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்கள் சமமாக இருக்கும்.^[2]^:p.136
ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் வெளியே அதன் பக்கங்களின் மீது சதுரங்கள் வரையப்பட்டால்:

அச்சதுரங்களின் திணிவு மையங்களை இணைக்கக் கிடைக்கும் நாற்கரம் செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரமாக அமையும். மேலும் அந்நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள் சமமகவும் இருக்கும்.

ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரத்தின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கக் கிடைக்கும் நாற்கரம் ஒரு செவ்வகமாக இருக்கும்.

வட்ட நாற்கரமாகவும் அமையும் செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரங்களின் பண்புகள்

ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம், வட்ட நாற்கரமுமாக இருந்தால்:

மூலைவிட்டங்கள் இரண்டும் சந்திக்கும் புள்ளி, ஒரு மூலைவிட்டத்தை p₁ மற்றும் p₂ நீளமுள்ள துண்டுகளாகவும் மற்றொரு மூலைவிட்டத்தை q₁ மற்றும் q₂ நீளமுள்ள துண்டுகளாகவும் பிரித்தால்: ^[6]

p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}=D^{2}

இங்கு D நாற்கரத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் விட்டம். நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்கள், சுற்றுவட்டத்தின் நாண்களுக்கு செங்குத்தாக அமைவதால் இம்முடிவு உண்மையாகும். R = D / 2 , சுற்றுவட்ட ஆரமெனில் $p_{1}^{2},$ $p_{2}^{2},$ $q_{1}^{2},$ மற்றும் $q_{2}^{2}$ ஆகிய நான்கின் சராசரி $R^{2}$ .

{\frac {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}{4}}={\frac {D^{2}}{4}}=R^{2}

மேலும்

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=2D^{2}=8R^{2}

பிரம்மகுப்தரின் தேற்றப்படி இவ்வகையான நாற்கரங்களின் இரு மூலைவிட்டங்களும் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி வழியாக நாற்கரத்தின் எந்தவொரு பக்கத்திற்கும் வரையப்படும் செங்குத்துக்கோடு மற்ற பக்கத்தை இருசமக்கூறிடும்.^[2]^:p.137

சுற்றுவட்ட மையத்திற்கும் நாற்கரத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம் அப்பக்கத்திற்கு எதிர்ப் பக்கத்தின் நீளத்தில் சரிபாதியாக இருக்கும்.^[2]^:p.138

நாற்கரத்தின் நான்கு பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளும் இந்த நடுப்புள்ளிகளில் இருந்து எதிர்ப் பக்கங்களுக்கு வரையப்படும் செங்குத்துகளின் அடிப்புள்ளிகளும் நாற்கரத்தின் திணிவு மையத்தை மையமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் மீது அமைகின்றன. அவ்வட்டம் எட்டு புள்ளி வட்டம்^[7] என அழைக்கப்படுகிறது.

மேற்கோள்கள்

↑ Josefsson, Martin (2010), "Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral" (PDF), Forum Geometricorum, 10: 119–130.
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Altshiller-Court, N. (2007), College Geometry, Dover Publications. Republication of second edition, 1952, Barnes & Noble.
↑ ^3.0 ^3.1 Mitchell, Douglas, W. (2009), "The area of a quadrilateral", Mathematical Gazette, 93: 306–309.
↑ Ismailescu, Dan; Vojdany, Adam (2009), "Class preserving dissections of convex quadrilaterals" (PDF), Forum Geometricorum, 9: 195–211.
↑ Harries, J. "Area of a quadrilateral," Mathematical Gazette 86, July 2002, 310–311.
↑ Posamentier, Alfred S., and Charles T. Salkind, Challenging Problems in Geometry, Dover Publ., second edition, 1996:pp. 104–105, #4–23.
↑ Weisstein, Eric W. "Eight-Point Circle Theorem." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

[1] Josefsson, Martin (2010), "Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral" (PDF), Forum Geometricorum, 10: 119–130.

[Altshiller-Court-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Altshiller-Court, N. (2007), College Geometry, Dover Publications. Republication of second edition, 1952, Barnes & Noble.

[Mitchell-3] 3.0 ^3.1 Mitchell, Douglas, W. (2009), "The area of a quadrilateral", Mathematical Gazette, 93: 306–309.

[4] Ismailescu, Dan; Vojdany, Adam (2009), "Class preserving dissections of convex quadrilaterals" (PDF), Forum Geometricorum, 9: 195–211.

[5] Harries, J. "Area of a quadrilateral," Mathematical Gazette 86, July 2002, 310–311.

[6] Posamentier, Alfred S., and Charles T. Salkind, Challenging Problems in Geometry, Dover Publ., second edition, 1996:pp. 104–105, #4–23.

[7] Weisstein, Eric W. "Eight-Point Circle Theorem." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]