நிலைத்த புள்ளி

கணிதத்தில், ஒரு சார்பின் ஆட்களத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியின் எதிருருவானது அப்புள்ளியாகவே இருக்குமாயின் அப்புள்ளி நிலைத்த புள்ளி (fixed point) அல்லது மாறாப்புள்ளி (invariant point) எனப்படும்.

மூன்று நிலைத்த புள்ளிகள் கொண்டதொரு சார்பு

சார்பு f இன் ஆட்களத்தின் ஒரு புள்ளி c எனில்:

$f(c)=c$

என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, c ஒரு நிலைத்த புள்ளியாகும். நிலைத்த புள்ளிகளின் கணம் ”நிலைத்த கணம்” எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு: மெய்யெண்களின் கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட சார்பு f :

$f(x)=x^{2}-3x+4,$ இச்சார்பின் நிலைத்த புள்ளி 2 (f(2) = 2).

அனைத்து சார்புகளும் நிலைத்த புள்ளிகள் கொண்டிருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக, மெய்யண்களில் வரையறுக்கப்பட்ட $f(x)=x+1$ சார்புக்கு நிலைத்த புள்ளிகள் கிடையாது. ஏனென்றால் எந்தவொரு மெய்யெண்ணுடனும் எண் ஒன்றைக் கூட்டினால் அதே எண் கிடைக்காது.

வரைபடத்தில், சார்பின் வளைகோடானது, $y=x$ கோட்டினைச் சந்திக்கும் புள்ளிகள் அச்சார்பின் நிலைத்த புள்ளிகளாக இருக்கும்.

மேற்கோள்கள்

• Weisstein, Eric W. "Fixed Point." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/FixedPoint.html

வெளியிணைப்புகள்

• Animations for Fixed Point Iteration
• An Elegant Solution for Drawing a Fixed Point