நீக்கல் பண்பு

கணிதத்தில், நீக்கற்தன்மை அல்லது நீக்கல் பண்பு (cancellativity, cancellability, cancellation property) என்பது நேர்மாற்றத்தக்கதன்மையின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்.

(M, ∗) என்றதொரு குலமனின் ஏதேனுமொரு உறுப்பு $a$ என்க.

$\forall b,c\in M,a*b=a*c\implies b=c$ எனில்

உறுப்பு a ஆனது, இடது நீக்கல் பண்பு கொண்டது அல்லது இடப்பக்க-நீக்கற்தன்மை உடையது எனப்படும்.

மேலும்,

$\forall b,c\in M,b*a=c*a\implies b=c$ எனில்

உறுப்பு a ஆனது, வலது நீக்கல் பண்பு கொண்டது அல்லது வலப்பக்க-நீக்கற்தன்மை உடையது எனப்படும்.

குலமனின் உறுப்பு a ஆனது, இடது நீக்கல் பண்பு, வலது நீக்கல் பண்பு இரண்டையும் கொண்டிருந்தால் அது இருபக்க நீக்கல் பண்பு (two-sided cancellation property) உடையது அல்லது நீக்கத்தக்கது (cancellative) எனப்படும்.

ஒரு குலமனின் அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் இடது நீக்கல் பண்பிருந்தால் அக்குலமன் இடது நீக்கல் பண்புடையது அல்லது இடது-நீக்கத்தக்கது என அழைக்கப்படும். அதேபோல, ஒரு குலமனின் அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் வலது நீக்கல் பண்பிருந்தால் அக்குலமன் வலது நீக்கல் பண்புடையது அல்லது வலது-நீக்கத்தக்கது என அழைக்கப்படும்.

வலது, இடது நீக்கத்தன்மை இரண்டுமுடைய குலமன் இருபக்க நீக்கல் பண்புடையது அல்லது நீக்கத்தக்கது எனப்படும்.

ஓர் அரைக்குலத்தில், இடப்பக்க-நேர்மாற்றத்தக்கதாகவுள்ள ஒவ்வோரு உறுப்பும் இடப்பக்க-நீக்கற்தன்மை உடையதாகும்; வலப்பக்க, இருபக்கப் பண்புகளுக்கும் இது பொருந்தும். a இன் இடப்பக்க நேர்மாறு a⁻¹ எனில்,

a ∗ b = a ∗ c

$\implies$ a⁻¹ ∗ (a ∗ b) = a⁻¹ ∗ (a ∗ c),

$\implies$ b = c (சேர்ப்புப் பண்பின்படி)

ஒவ்வொரு பகுதி குலமும் நீக்கத்தக்கதாக இருக்கும். எனவே ஒவ்வொரு குலமும் நீக்கல் பண்புயையது.

விளக்கம்

(M, ∗) என்ற குலமனின் உறுப்பு a ஆனது, இடது நீக்கல் பண்பு கொண்டுள்ளது என்பது, g : x ↦ a ∗ x என்ற சார்பானது ஒரு உள்ளிடு கோப்பாக இருக்குமென்பதைக் குறிக்கிறது.

அதாவது சார்பு g ஒரு உள்ளிடு கோப்பு எனில்,

a ∗ x = b சமன்பாட்டிலுள்ள மாறி x மட்டுமேயாகவும், அச்சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யக்கூடிய வகையான x இன் மதிப்பு ஒன்றேயொன்று மட்டுமாகவும் இருக்கும்.

மேலும் நுட்பமாக இதனைப் பின்வருமாறு விளக்கலாம்:

x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும்,

f(g(x)) = f(a ∗ x) = x என்பதை நிறைவுசெய்யும் வகையில் g இன் நேர்மாறாக f சார்பை வரையறுக்க முடியும்.

இதனையே கீழ்வருமாறும் கூறலாம்:

M இலுள்ள அனைத்து x , y உறுப்புகளுக்கும்,

a * x = a * y எனில், x = y ஆகும்.

(M, ∗) என்ற குலமனின் உறுப்பு a ஆனது, வலது நீக்கல் பண்பு கொண்டுள்ளது என்பது, h : x ↦ x ∗ aஎன்ற சார்பானது ஒரு உள்ளிடு கோப்பாக இருக்குமென்பதைக் குறிக்கிறது.

அதாவது சார்பு h ஒரு உள்ளிடு கோப்பு எனில்,

M இலுள்ள அனைத்து x , y உறுப்புகளுக்கும்,

x * a = y * a, எனில் x = y ஆக இருக்கும்.