நெப்போலியனின் தேற்றம்

வடிவவியலில் நெப்போலியன் தேற்றம் என்பது ஒரு முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்தின் மீதும் உள்நோக்கியோ வெளி நோக்கியோ சமபக்க முக்கோணங்களை வரைந்தால், அவற்றின் நடுப்புள்ளிகளும் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தை உருவாக்கும். அப்படி உருவாக்கிய சமபக்க முக்கோணம், நெப்போலியன் முக்கோணம் (உள், வெளி ஆகிய இரண்டும்) என்று அழைக்கப்படுகின்றது.

இத்தேற்றம் நெப்போலியன் (1769–1821) பெயரில் வழங்கப்பட்டாலும், இரதர்போர்டு என்பார் 1825 இல், நெப்போலியன் இறந்து நான்கு ஆண்டுகளில் வெளியிட்ட, "த லேடீசு டையரி" (The Ladies' Diary) என்னும் வெளியீட்டில் வந்திருந்ததே முதல் அறிவிப்பாக இருக்கலாம் என்னும் கருத்து நிலவுகின்றது.

நிறுவல்

இது எளிதான விளக்கம் அன்று எனினும் இப்படிச் செல்கின்றது இவ்விளக்கம்: முக்கோணம் LMN என்பது சமபக்க முக்கோணம் என்று அறிய, முதலில் MN என்பது மணிகாட்டி நகரும் திசையில் 30°, A -யைச்சுற்றி நகர்ந்தால் CZ ஆக மாறும், அதே நேரம் அதே மையத்திலிருந்து √3 விகிதம் நீட்டமுறும் "ஒத்தவகை மாற்றம்" (Homothety or Homothetic transformation) கொள்ளும்; அடுத்து LN என்பதும் மணிகாட்டிக்கு எதிர்த்திசையில் B -யைச் சுற்றி 30° சுழற்றினால் CZ ஆக மாறும், அதே நேரம் அதே மையத்திலிருந்து √3 விகிதம் நீட்டமுறும் "ஒத்தவகை மாற்றம்" கொள்ளும். இவற்றின் சுழற்சி ஒற்றுமையில் இருந்து A(√3,-30°), B(√3,30°). என்பதை உணரலாம். இதிலிருந்து MN = LN என்றும், அவற்றின் இடையே உள்ள கோணம் 60° என்றும் அறியலாம்.

ஆள்கூறு வடிவவியல் வழி, LMN முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்தின் நீளமும் கீழ்க்காணும் கணிக்கோவையால் (கணிச்சரத்தால்) குறிக்கலாம்:

${\sqrt {{a^{2}+b^{2}+c^{2} \over 6}+{{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}} \over {2{\sqrt {3}}}}}}$

இதற்கு முக்கோணவியல் வழியும் ஒரு நிறுவல் உள்ளது.

வெளியிணைப்புகள்

• Napoleon's Theorem and Generalizations
• To see the construction
• Napoleon's Theorem by Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
• Weisstein, Eric W., "Napoleon's Theorem", MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Spiral Similarity", MathWorld.
• Napoleon's Theorem and some generalizations, variations & converses at Dynamic Geometry Sketches
• Napoleon's Theorem, Two Simple Proofs