கணிதத்தில் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் (inverse trigonometric functions ) என்பவை முக்கோணவியல் சார்புகளின் நேர்மாறுச் சார்புகளாகும் . இச்சார்புகளின் வீச்சுகள் மூல முக்கோணவியல் சார்புகளின் ஆட்களங்களின் உட்கணங்களாக இருக்கும் என்பதால் இவை அடிப்படை நேர்மாறு சார்புகளுக்குத் தேவையான பண்புகளைக் கொண்டிருக்காது. ஆறு முக்கோணவியல் சார்புகளும் ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்புகள் அல்ல. எனவே அவற்றுக்கான நேர்மாறு சார்புகளை வரையறுப்பதற்கு ஏற்றவகையில் அச்சார்புகளை கட்டுப்படுத்த வேண்டும்.
எடுத்துக்காட்டாக:
y
=
x
,
{\displaystyle y={\sqrt {x}},}
y 2 = x , என வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது போல
y = arcsin(x ) -நேர்மாறு சைன் சார்பு, sin(y ) = x என வரையறுக்கப்படுகிறது.
sin(y ) = x -ஐ நிறைவு செய்யும் y -ன் மதிப்புகள் பல உள்ளன. sin(0) = 0, sin(π) = 0, sin(2π) = 0,... எனவே arcsin, பல மதிப்புகள் கொண்டுள்ளது. arcsin(0) = 0, arcsin(0) = π, arcsin(0) = 2π, ... . ஒரு மதிப்பு மட்டும் கொண்டதாக arcsin சார்பைக் கட்டுப்படுத்திக் கொள்ளலாம். இக்கட்டுப்பாட்டின்படி arcsin சார்பின் ஆட்களத்திலுள்ள ஒவ்வொரு x -க்கும் arcsin(x ) -ன் மதிப்பு ஒன்றே ஒன்றாக இருக்கும். அம்மதிப்பு முதன்மை மதிப்பு (principal value) என அழைக்கப்படும். இந்தக் கட்டுப்பாடு மற்ற ஐந்து நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கும் பொருந்தும்,
முதன்மை நேர்மாறுச் சார்புகள் பின்வரும் அட்டவணையில் தரப்பட்டுள்ளன.
பெயர்
வழக்கமான குறியீடு
வரையறை
x -ன் ஆட்களம் (மெய் மதிப்புகளுக்கு )
முதன்மை மதிப்பின் வழக்கமான வீச்சு ரேடியன் )
முதன்மை மதிப்பின் வழக்கமான வீச்சு பாகை )
arcsine y = arcsin x x = sin y −1 ≤ x ≤ 1
−π/2 ≤ y ≤ π/2
−90° ≤ y ≤ 90°
arccosine y = arccos x x = cos y −1 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ π
0° ≤ y ≤ 180°
arctangent y = arctan x x = tan y அனைத்து மெய்யெண்கள்
−π/2 < y < π/2
−90° < y < 90°
arccotangent y = arccot x x = cot y அனைத்து மெய்யெண்கள்
0 < y < π
0° < y < 180°
arcsecant y = arcsec x x = sec y x ≤ −1 அல்லது 1 ≤ x 0 ≤ y < π/2 அல்லது π/2 < y ≤ π
0° ≤ y < 90° or 90° < y ≤ 180°
arccosecant y = arccsc x x = csc y x ≤ −1 அல்லது 1 ≤ x −π/2 ≤ y < 0 அல்லது 0 < y ≤ π/2
-90° ≤ y < 0° அல்லது 0° < y ≤ 90°
x ஒரு சிக்கலெண் எனில் y -ன் வீச்சு x -ன் மெய்ப்பகுதிக்கு மட்டுமே பொருந்தும்.
sin−1 , cos−1 ,.... ஆகிய குறியீடுகள் பல இடங்களில் arcsin, arccos, ... ஆகியவற்றுக்குப் பதிலாக பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஆனால் இக்குறியீடுகளால் முக்கோணவியல் சார்புகளின் பெருக்கல் தலைகீழிகளுக்கும் நேர்மாறுச் சார்புகளுக்குமிடையே குழப்பம் ஏற்படலாம்.
தொகு
arctan(x ) (சிவப்பு) மற்றும் arccot(x ) (நீலம்) சார்புகளின் வழக்கமான முதன்மை மதிப்புகளின் வரைபடம் கார்ட்டீசியன் தளத்தில். arcsec(x )(சிவப்பு) மற்றும் arccsc(x ) (நீலம்) சார்புகளின் வழக்கமான முதன்மை மதிப்புகளின் வரைபடம்கார்ட்டீசியன் தளத்தில் arcsin(x ) (சிவப்பு) மற்றும் arccos(x ) (நீலம்) சார்புகளின் வழக்கமான முதன்மை மதிப்புகளின் வரைபடம் கார்ட்டீசியன் தளத்தில்
கோணங்கள
arccos
x
=
π
2
−
arcsin
x
{\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x}
arccot
x
=
π
2
−
arctan
x
{\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x}
arccsc
x
=
π
2
−
arcsec
x
{\displaystyle \operatorname {arccsc} x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec} x}
எதிர்ம கோணங்கள்:
arcsin
(
−
x
)
=
−
arcsin
x
{\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin x\!}
arccos
(
−
x
)
=
π
−
arccos
x
{\displaystyle \arccos(-x)=\pi -\arccos x\!}
arctan
(
−
x
)
=
−
arctan
x
{\displaystyle \arctan(-x)=-\arctan x\!}
arccot
(
−
x
)
=
π
−
arccot
x
{\displaystyle \operatorname {arccot}(-x)=\pi -\operatorname {arccot} x\!}
arcsec
(
−
x
)
=
π
−
arcsec
x
{\displaystyle \operatorname {arcsec}(-x)=\pi -\operatorname {arcsec} x\!}
arccsc
(
−
x
)
=
−
arccsc
x
{\displaystyle \operatorname {arccsc}(-x)=-\operatorname {arccsc} x\!}
தலைகீழிக் கோணங்கள்:
arccos
(
1
/
x
)
=
arcsec
x
{\displaystyle \arccos(1/x)\,=\operatorname {arcsec} x\,}
arcsin
(
1
/
x
)
=
arccsc
x
{\displaystyle \arcsin(1/x)\,=\operatorname {arccsc} x\,}
arctan
(
1
/
x
)
=
1
2
π
−
arctan
x
=
arccot
x
,
if
x
>
0
{\displaystyle \arctan(1/x)={\tfrac {1}{2}}\pi -\arctan x=\operatorname {arccot} x,{\text{ if }}x>0\,}
arctan
(
1
/
x
)
=
−
1
2
π
−
arctan
x
=
−
π
+
arccot
x
,
if
x
<
0
{\displaystyle \arctan(1/x)=-{\tfrac {1}{2}}\pi -\arctan x=-\pi +\operatorname {arccot} x,{\text{ if }}x<0\,}
arccot
(
1
/
x
)
=
1
2
π
−
arccot
x
=
arctan
x
,
if
x
>
0
{\displaystyle \operatorname {arccot}(1/x)={\tfrac {1}{2}}\pi -\operatorname {arccot} x=\arctan x,{\text{ if }}x>0\,}
arccot
(
1
/
x
)
=
3
2
π
−
arccot
x
=
π
+
arctan
x
,
if
x
<
0
{\displaystyle \operatorname {arccot}(1/x)={\tfrac {3}{2}}\pi -\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x,{\text{ if }}x<0\,}
arcsec
(
1
/
x
)
=
arccos
x
{\displaystyle \operatorname {arcsec}(1/x)=\arccos x\,}
arccsc
(
1
/
x
)
=
arcsin
x
{\displaystyle \operatorname {arccsc}(1/x)=\arcsin x\,}
சைன் அட்டவணையின் ஒரு பகுதி மட்டும் நம்மிடம் இருந்தால்:
arccos
x
=
arcsin
1
−
x
2
,
if
0
≤
x
≤
1
{\displaystyle \arccos x=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},{\text{ if }}0\leq x\leq 1}
arctan
x
=
arcsin
x
x
2
+
1
{\displaystyle \arctan x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
இங்கு ஒரு சிக்கல் எண்ணின் வர்க்கமூலம் பயன்படுத்தப்பட்டால், நேர்ம மெய்ப்பகுதி கொண்ட மூலம் எடுத்துக் கொள்ளப்படும்.(அல்லது வர்க்கம் எதிர்ம மெய்ப்பகுதி கொண்டிருந்தால் நேர்ம கற்பனைபகுதி கொண்ட மூலம் எடுத்துக் கொள்ளப்படும்.).
டேன்ஜெண்டின் அரைக்கோண வாய்ப்பாடு :
tan
θ
2
=
sin
θ
1
+
cos
θ
{\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}}
arcsin
x
=
2
arctan
x
1
+
1
−
x
2
{\displaystyle \arcsin x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
arccos
x
=
2
arctan
1
−
x
2
1
+
x
,
if
−
1
<
x
≤
+
1
{\displaystyle \arccos x=2\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}},{\text{ if }}-1<x\leq +1}
arctan
x
=
2
arctan
x
1
+
1
+
x
2
{\displaystyle \arctan x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
தொகு
sin
(
arccos
x
)
=
cos
(
arcsin
x
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle \sin(\arccos x)=\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}}
sin
(
arctan
x
)
=
x
1
+
x
2
{\displaystyle \sin(\arctan x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
cos
(
arctan
x
)
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle \cos(\arctan x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
tan
(
arcsin
x
)
=
x
1
−
x
2
{\displaystyle \tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
tan
(
arccos
x
)
=
1
−
x
2
x
{\displaystyle \tan(\arccos x)={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}
தொகு
x -ன் மெய் மற்றும் சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கு எளிய வகைக்கெழுக்கள் :
d
d
x
arcsin
x
=
1
1
−
x
2
d
d
x
arccos
x
=
−
1
1
−
x
2
d
d
x
arctan
x
=
1
1
+
x
2
d
d
x
arccot
x
=
−
1
1
+
x
2
d
d
x
arcsec
x
=
1
x
x
2
−
1
d
d
x
arccsc
x
=
−
1
x
x
2
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\arcsin x&{}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\arccos x&{}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\arctan x&{}={\frac {1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&{}={\frac {-1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{x\,{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{x\,{\sqrt {x^{2}-1}}}}\end{aligned}}}
x -ன் மெய் மதிப்புகளுக்கு மட்டும்:
d
d
x
arcsec
x
=
1
|
x
|
x
2
−
1
;
|
x
|
>
1
d
d
x
arccsc
x
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
;
|
x
|
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\end{aligned}}}
வகையிடலின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு:
θ
=
arcsin
x
{\displaystyle \theta =\arcsin x\!}
d
arcsin
x
d
x
=
d
θ
d
sin
θ
=
1
cos
θ
=
1
1
−
sin
2
θ
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d\arcsin x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sin \theta }}={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
தொகு
arcsin
x
=
∫
0
x
1
1
−
z
2
d
z
,
|
x
|
≤
1
arccos
x
=
∫
x
1
1
1
−
z
2
d
z
,
|
x
|
≤
1
arctan
x
=
∫
0
x
1
z
2
+
1
d
z
,
arccot
x
=
∫
x
∞
1
z
2
+
1
d
z
,
arcsec
x
=
∫
1
x
1
z
z
2
−
1
d
z
,
x
≥
1
arcsec
x
=
π
+
∫
x
−
1
1
z
z
2
−
1
d
z
,
x
≤
−
1
arccsc
x
=
∫
x
∞
1
z
z
2
−
1
d
z
,
x
≥
1
arccsc
x
=
∫
−
∞
x
1
z
z
2
−
1
d
z
,
x
≤
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1\\\arccos x&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1\\\arctan x&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz,\\\operatorname {arccot} x&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz,\\\operatorname {arcsec} x&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\geq 1\\\operatorname {arcsec} x&{}=\pi +\int _{x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\leq -1\\\operatorname {arccsc} x&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\geq 1\\\operatorname {arccsc} x&{}=\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\leq -1\end{aligned}}}
x = 1 ஆகும் போது எல்லைக்குட்பட்ட ஆட்களங்களைக் கொண்ட தொகையீடுகள் , முறையற்ற தொகையீடுகளாகும் (improper integrals). ஆனாலும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டவையாக அமையும்.
தொகு
நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளைப் பின்வருமாறு முடிவிலாத் தொடர்களாகக் காணலாம்:
arcsin
z
=
z
+
(
1
2
)
z
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
z
5
5
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
z
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
z
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
;
|
z
|
≤
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin z&{}=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}
arccos
z
=
π
2
−
arcsin
z
=
π
2
−
(
z
+
(
1
2
)
z
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
z
5
5
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
z
7
7
+
⋯
)
=
π
2
−
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
z
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
;
|
z
|
≤
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}
arctan
z
=
z
−
z
3
3
+
z
5
5
−
z
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
+
1
2
n
+
1
;
|
z
|
≤
1
z
≠
i
,
−
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\arctan z&{}=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}}
arccot
z
=
π
2
−
arctan
z
=
π
2
−
(
z
−
z
3
3
+
z
5
5
−
z
7
7
+
⋯
)
=
π
2
−
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
+
1
2
n
+
1
;
|
z
|
≤
1
z
≠
i
,
−
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccot} z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arctan z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}}
arcsec
z
=
arccos
(
1
/
z
)
=
π
2
−
(
z
−
1
+
(
1
2
)
z
−
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
z
−
5
5
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
z
−
7
7
+
⋯
)
=
π
2
−
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
z
−
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
;
|
z
|
≥
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos {(1/z)}\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}}
arccsc
z
=
arcsin
(
1
/
z
)
=
z
−
1
+
(
1
2
)
z
−
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
z
−
5
5
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
z
−
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
z
−
(
2
n
+
1
)
2
n
+
1
;
|
z
|
≥
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccsc} z&{}=\arcsin {(1/z)}\\&{}=z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{2n+1}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}}
ஆய்லரால் இதைவிட பயனுள்ளதொரு முடிவிலாத் தொடர் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது:
arctan
z
=
z
1
+
z
2
∑
n
=
0
∞
∏
k
=
1
n
2
k
z
2
(
2
k
+
1
)
(
1
+
z
2
)
.
{\displaystyle \arctan z={\frac {z}{1+z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}.}
(இக்கூட்டுதொகையில் n = 0 -ன் உறுப்பு வெற்றுப் பெருக்கல்பலன் (empty product). இதன் மதிப்பு 1.)
arctan
z
=
∑
n
=
0
∞
2
2
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
!
z
2
n
+
1
(
1
+
z
2
)
n
+
1
{\displaystyle \arctan z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{\,2n}\,(n!)^{2}}{\left(2n+1\right)!}}\;{\frac {z^{\,2n+1}}{\left(1+z^{2}\right)^{n+1}}}}
தொகு
x -ன் மெய் மற்றும் சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கு:
∫
arcsin
x
d
x
=
x
arcsin
x
+
1
−
x
2
+
C
∫
arccos
x
d
x
=
x
arccos
x
−
1
−
x
2
+
C
∫
arctan
x
d
x
=
x
arctan
x
−
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
∫
arccot
x
d
x
=
x
arccot
x
+
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
∫
arcsec
x
d
x
=
x
arcsec
x
−
ln
(
x
(
1
+
x
2
−
1
x
2
)
)
+
C
∫
arccsc
x
d
x
=
x
arccsc
x
+
ln
(
x
(
1
+
x
2
−
1
x
2
)
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arctan x\,dx&{}=x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right)\right)+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} x+\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right)\right)+C\end{aligned}}}
x ≥ 1 ஆகவுள்ள மெய்மதிப்புகளுக்கு:
∫
arcsec
x
d
x
=
x
arcsec
x
−
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
+
C
∫
arccsc
x
d
x
=
x
arccsc
x
+
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}}
இவற்றைப் பகுதி தொகையிடல் மூலம் பெறலாம்.
பகுதி தொகையிடலில்:
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
{\displaystyle \int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u}
u
=
arcsin
x
d
v
=
d
x
d
u
=
d
x
1
−
x
2
v
=
x
{\displaystyle {\begin{aligned}u&{}=&\arcsin x&\quad \quad \mathrm {d} v=\mathrm {d} x\\\mathrm {d} u&{}=&{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}&\quad \quad {}v=x\end{aligned}}}
∫
arcsin
(
x
)
d
x
=
x
arcsin
x
−
∫
x
1
−
x
2
d
x
{\displaystyle \int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin x-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x}
தொகையிடலின் பிரதியிடல் முறையைப் பயன்படுத்த:
k
=
1
−
x
2
.
{\displaystyle k=1-x^{2}.\,}
d
k
=
−
2
x
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} k=-2x\,\mathrm {d} x}
∫
x
1
−
x
2
d
x
=
−
1
2
∫
d
k
k
=
−
k
{\displaystyle \int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} k}{\sqrt {k}}}=-{\sqrt {k}}}
x -க்கு மீண்டும் பிரதியிட:
∫
arcsin
(
x
)
d
x
=
x
arcsin
x
+
1
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}
சிக்கலெண் மடக்கைகள் மூலமாகவும் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளை எழுதலாம். இதனால் இச்சார்புகளின் ஆட்களங்கள் சிக்கலெண் தளத்திற்கு நீட்டிக்கப்படுகிறது.
arcsin
x
=
−
i
ln
(
i
x
+
1
−
x
2
)
=
arccsc
1
x
arccos
x
=
−
i
ln
(
x
+
i
1
−
x
2
)
=
π
2
+
i
ln
(
i
x
+
1
−
x
2
)
=
π
2
−
arcsin
x
=
arcsec
1
x
arctan
x
=
1
2
i
(
ln
(
1
−
i
x
)
−
ln
(
1
+
i
x
)
)
=
arccot
1
x
arccot
x
=
1
2
i
(
ln
(
1
−
i
x
)
−
ln
(
1
+
i
x
)
)
=
arctan
1
x
arcsec
x
=
−
i
ln
(
i
1
−
1
x
2
+
1
x
)
=
i
ln
(
1
−
1
x
2
+
i
x
)
+
π
2
=
π
2
−
arccsc
x
=
arccos
1
x
arccsc
x
=
−
i
ln
(
1
−
1
x
2
+
i
x
)
=
arcsin
1
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&{}=-i\,\ln \left(i\,x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)&{}=\operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}\\[10pt]\arccos x&{}=-i\,\ln \left(x+i\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}\,+i\ln \left(i\,x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x&{}=\operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}\\[10pt]\arctan x&{}={\tfrac {1}{2}}i\left(\ln \left(1-i\,x\right)-\ln \left(1+i\,x\right)\right)&{}=\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}\\[10pt]\operatorname {arccot} x&{}={\tfrac {1}{2}}i\left(\ln \left(1-{\frac {i}{x}}\right)-\ln \left(1+{\frac {i}{x}}\right)\right)&{}=\arctan {\frac {1}{x}}\\[10pt]\operatorname {arcsec} x&{}=-i\,\ln \left(i\,{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {1}{x}}\right)=i\,\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {i}{x}}\right)+{\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc} x&{}=\arccos {\frac {1}{x}}\\[10pt]\operatorname {arccsc} x&{}=-i\,\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {i}{x}}\right)&{}=\arcsin {\frac {1}{x}}\end{aligned}}}
θ
=
arcsin
x
=
−
i
ln
(
i
x
+
1
−
x
2
)
{\displaystyle \theta =\arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,}
நிறுவலாம் .
arcsin
x
=
θ
{\displaystyle \arcsin x=\theta \,}
e
i
θ
−
e
−
i
θ
2
i
=
x
{\displaystyle {\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}=x}
(சைன் சார்பின் அடுக்குக்குறி வரையறை)
k
=
e
i
θ
.
{\displaystyle k=e^{i\,\theta }.\,}
k
−
1
k
2
i
=
x
{\displaystyle {\frac {k-{\frac {1}{k}}}{2i}}=x}
k
2
−
2
i
k
x
−
1
=
0
{\displaystyle k^{2}-2\,i\,k\,x-1\,=\,0}
k
=
i
x
±
1
−
x
2
=
e
i
θ
{\displaystyle k=ix\pm {\sqrt {1-x^{2}}}=e^{i\theta }\,}
(நேர்ம பகுதி எடுத்துக் கொள்ளப்ப்படுகிறது.)
θ
=
arcsin
x
=
−
i
ln
(
i
x
+
1
−
x
2
)
{\displaystyle \theta =\arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,}
சிக்கலெண் தளத்தில் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள்
arcsin
(
z
)
{\displaystyle \arcsin(z)}
arccos
(
z
)
{\displaystyle \arccos(z)}
arctan
(
z
)
{\displaystyle \arctan(z)}
arccot
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {arccot}(z)}
arcsec
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {arcsec}(z)}
arccsc
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {arccsc}(z)}
![{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&{}=-i\,\ln \left(i\,x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)&{}=\operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}\\[10pt]\arccos x&{}=-i\,\ln \left(x+i\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}\,+i\ln \left(i\,x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x&{}=\operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}\\[10pt]\arctan x&{}={\tfrac {1}{2}}i\left(\ln \left(1-i\,x\right)-\ln \left(1+i\,x\right)\right)&{}=\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}\\[10pt]\operatorname {arccot} x&{}={\tfrac {1}{2}}i\left(\ln \left(1-{\frac {i}{x}}\right)-\ln \left(1+{\frac {i}{x}}\right)\right)&{}=\arctan {\frac {1}{x}}\\[10pt]\operatorname {arcsec} x&{}=-i\,\ln \left(i\,{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {1}{x}}\right)=i\,\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {i}{x}}\right)+{\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc} x&{}=\arccos {\frac {1}{x}}\\[10pt]\operatorname {arccsc} x&{}=-i\,\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {i}{x}}\right)&{}=\arcsin {\frac {1}{x}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20f53c0f477f8830d52de7a3c008b4bac7fa8adf)
