பரவளையவுரு

கணிதத்தில் பரவளையத்திண்மம் அல்லது பரவளையவுரு ( paraboloid) என்பது ஒரு சிறப்பு வகையான இருபடிப் பரப்பாகும் (quadric surface). இதில் நீள்வட்டப் பரவளையவுரு மற்றும் அதிபரவளையப் பரவளையவுரு என இரு வகைப்பாடுகள் உள்ளன.

பரவளையச் சுழலுரு.

நீள்வட்டப் பரவளையவுரு நீள்வட்டமான கிண்ணவடிவில் அமையும். இதற்கு ஒரு பெரும அல்லது சிறுமப் புள்ளி இருக்கலாம். $x,$ $y,$ $z$ எனும் மூன்று அச்சுக்களைக் கொண்ட பொருத்தமான ஆள்கூற்று முறைமையில், இதன் சமன்பாடு:

${\frac {z}{c}}={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.$

இங்கு $a,$ $b$ இரண்டும் முறையே $x$-$z,$ $y$-$z$ தளங்களில் இவ்வுருவின் வளைவினைத் தீர்மானிக்கும் மாறிலிகள் ஆகும். இந்த நீள்வட்டப் பரவளையவுரு மேல்நோக்கித் திறந்திருக்கும்.

அதிபரவளைய பரவளையவுரு

அதிபரவளைய பரவளையவுரு சேண வடிவில் அமைந்ததொரு இரட்டைக் கோடிட்டப் பரப்பாகும். $x,$ $y,$ $z$ எனும் மூன்று அச்சுக்களைக் கொண்ட பொருத்தமான ஆள்கூற்று முறைமையில், இதன் சமன்பாடு:

${\frac {z}{c}}={\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}.$

c>0 எனில், இந்த அதிபரவளைய பரவளையவுரு, x-அச்சுத் திசையில் மேல்நோக்கித் திறந்ததாகவும், y-அச்சுத் திசையில் கீழ்நோக்கித் திறந்ததாகவும் இருக்கும்.

பண்புகள்

நீள்வட்டப் பரவளையவுரு

$a=b$ எனில், நீள்வட்டப் பரவளையவுரு ஒரு பரவளையச் சுழலுருவாக இருக்கும் (அதாவது ஒரு பரவளையத்தை அதன் அச்சைப் பொறுத்து சுழற்றுவதால் கிடைக்கும் திண்மம்.)

இந்த வடிவம் பரவளைய எதிரொளிப்பிகள், வானலைக் கும்பா ஆகியவற்றில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. நீர்ம ஆடித் தொலைநோக்கிகளில் பயன்படும் சுழலும் நீர்மப் பரப்பு இவ்வடிவமுடையது. இவ்வடிவம் வட்ட பரவளையவுரு எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

ஒளி மூலத்திலிருந்து குவியம் வழிச்செல்லும் ஒளிக்கதிர்கள், ஆடியில் பட்டு இணையான ஒளிக்கதிர்களாகப் எதிரொளிக்கப் படுகின்றன. அதேபோல் இணையான ஒளிக்கதிர்கள் ஆடியில் பட்டு எதிரொளிப்பால் குவியத்தின் வழிச் செல்கின்றன. இது ஒளி அலைகளுக்கு மட்டுமல்லாது மற்ற அலைகளுக்கும் பொருந்தும். இக்கொள்கையே பரவளைய எதிரொளிப்பியிலும் வானலைக் கும்பாக்களிலும் பயன்படுகிறது.

அதிபரவளைய பரவளையவுரு

அதிபரவளைய பரவளையவுரு ஒரு இரட்டைக் கோடிடப்பட்ட பரப்பு. இதில் இருவகையான கோடுகள் அமைந்துள்ளன. அவை இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று வெட்டாக் கோடுகள் கொண்டவை. ஒவ்வொரு வகையிலும் அதிலுள்ள கோடுகள் ஒரு பொதுத் தளத்திற்கு இணையாக இருக்கும். ஆனால் அவைகளுக்குள்ளாக இணையாக இரா.

வளைவு

${\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{u^{2} \over a^{2}}+{v^{2} \over b^{2}}\right)$ சமன்பாடு குறிக்கும் நீள்வட்டப் பரவளையவுருவின்:

• காசிய வளைவு (Gaussian curvature)

$K(u,v)={4 \over a^{2}b^{2}\left(1+{4u^{2} \over a^{4}}+{4v^{2} \over b^{4}}\right)^{2}}$

• சராசரி வளைவு (mean curvature)

$H(u,v)={a^{2}+b^{2}+{4u^{2} \over a^{2}}+{4v^{2} \over b^{2}} \over a^{2}b^{2}\left(1+{4u^{2} \over a^{4}}+{4v^{2} \over b^{4}}\right)^{3/2}}$

இவ்விரண்டு வளைவுகளும் நேர்மதிப்புடையவை; ஆதிப்புள்ளியில் பெரும மதிப்புடையவை. மேலும் நீள்வட்டப் பரவளையவுருவின் மேற்பரப்பிலுள்ள ஒரு புள்ளியானது ஆதிப்புள்ளியிலிருந்து விலகிச் செல்ல செல்ல அப்புள்ளியில் வளைவின் மதிப்புக் குறைந்து கொண்டே வந்து, புள்ளி ஆதியிலிருந்து முடிவிலாத் தூரத்தில் அமையும் போது வளைவின் மதிப்பு பூச்சியத்தை நெருங்கும்.

${\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{u^{2} \over a^{2}}-{v^{2} \over b^{2}}\right)$ சமன்பாடு குறிக்கும் அதிபரவளையப் பரவளையவுருவின்:

• காசிய வளைவு

$K(u,v)={-4 \over a^{2}b^{2}\left(1+{4u^{2} \over a^{4}}+{4v^{2} \over b^{4}}\right)^{2}}$

• சராசரி வளைவு

$H(u,v)={-a^{2}+b^{2}-{4u^{2} \over a^{2}}+{4v^{2} \over b^{2}} \over a^{2}b^{2}\left(1+{4u^{2} \over a^{4}}+{4v^{2} \over b^{4}}\right)^{3/2}}.$

நாம் காணக் கூடிய பயன்பாடுகள்

அதிபரவளையப் பரவளைவுருவிலுள்ள பிரிங்கிள் (Pringles)..

வானலைக் கும்பா

The hyperbolic paraboloid is a doubly ruled surface, and thus can be used to construct a saddle roof from straight beams.

Warszawa Ochota railway station, an example of a hyperbolic paraboloid structure.