பர்ன்ஸைட்-ஃப்ரொபீனியஸ் கொற்கோள்

பர்ன்ஸைட்-ஃப்ரொபீனியஸ் கொற்கோள் (Burnside-Frobenius Lemma) என்பது கணிதத்தில் சேர்வியலில் உள்ள ஓர் அடிப்படையான கொற்கோள்.

இக் கொற்கோளை விளங்கிக்கொள்ள சில அடிப்படையான கேள்விகளைக் கேட்கலாம். ஒருவர் அணியும் முத்துமாலையில், ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிகையான பல நிற முத்துக்கள் இருந்தால், இருக்கும் நிறமுத்துக்களை வேறுவேறு அடுக்கில் கோத்து எத்தனை வேறு வேறு மாலைகள் உருவாக்க முடியும்? மாலையின் சுழற்சியால் ஒன்றுக்கொன்றாய் மாற்றக்கூடிய மாலைகள் வேறாகக் கருதப்படுவதில்லை.

ஒரு கனசதுரத்தின் பக்கங்களை n நிறங்களால் எத்தனை விதமாக நிறப்படுத்தலாம்? நிறப்படுத்தப்பட்ட கனசதுரங்கள் சுழற்சியாலோ அல்லது எதிர்வுகளினாலோ அல்லது இவைகளின் கலவையினாலோ மாற்றக்கூடியதாக இருந்தால அவை வேறாகக் கருதப்படுவதில்லை.

ஆறு கரிம அணுக்கள் கொண்ட பென்சீன் மூலக்கூறுகள் எத்தனை இருக்கமுடியும்?

சமச்சீர் இருக்குமிடத்திலெல்லாம் இதுபோன்ற கேள்விகள் எழுகின்றன. இவைகளை சேர்வியலில் அலசி ஆராய்ந்து பல வழிமுறைகள் கண்டுபிடித்திருக்கின்றனர். அம்முறைகளுக்கெல்லாம் தலையாயத் தேற்றமாக இருந்தது குலக்கோட்பாட்டில் ஃப்ரொபீனியஸ் (1849 - 1917) கண்டுபிடித்த ஒரு சுவையான தேற்றம். இது முதன் முதலில் பர்ன்ஸைட் (1852 - 1927) எழுதிய கணித நூலில் பிரபலமானது. இதனால் இதற்கு பர்ன்ஸைட் கொற்கோள் என்றோ பர்ன்ஸைட்-ஃப்ரொபீனியஸ் கொற்கோள் (Burnside-Frobenius Lemma) என்றோ பெயர் வழங்குகிறது.

சுற்றுப்பாதைகள்

$G$ என்றொரு குலத்தை எடுத்துக்கொள்வோம். இது $S$ என்றொரு கணத்தின்மேல் வரிசைமாற்றுக்குலமாக செயல்படுகிறதாகக் கொள்வோம். அதாவது $G$ யிலுள்ள ஒவ்வொரு $g$ யும் $S$ இலுள்ள ஒவ்வொரு $s$ ஐ $G$ யிலுள்ள $gs$ என்றொரு உறுப்புக்கு எடுத்துச்செல்கிறது என்று பொருள். இதை வைத்துக்கோண்டு $S$ இல் உள்ள உறுப்புகளுக்குள் ஒரு உறவு (' $\sim$ ') ஏற்படுத்தமுடியும். அதாவது,

s_{1}\sim s_{2}

என்றால்

gs_{1}=gs_{2}

என்றிருக்கும்படி

G

இல்

g

என்றொரு உறுப்பு உள்ளது என்று பொருள்.

இந்த உறவு ஒரு சமான உறவு. அதனால் $S$ பற்பல சமானப் பகுதிகளாகப்பிரிகிறது. இச்சமானப்பகுதிகளை $G$ -சுற்றுப்பாதைகள் என்றோ அல்லது ( $G$ என்ற குலத்தைச் சுட்டிக்காட்ட அவசியமில்லாதபோது) சுற்றுப்பாதைகள் (Orbits) என்று மட்டுமோ அழைப்போம். ஒவ்வொரு $G$ -சுற்றுப்பாதையையும்

G_{s}=\{t\in S|G

இலுள்ள ஏதோவொரு

g

க்கு,

t=g(s)\}

என்று குறிக்கலாம்.

நிலையாக்கிகள்

$S$ இலுள்ள ஒவ்வொரு $s$ க்கும் $\{g\in G|g(s)=s\}$ என்ற கணம் $s$ இன் நிலையாக்கி (Stabilizer) எனப்பெயர் பெறும். அதாவது அதிலுள்ள எல்லா $g$ யும் $s$ ஐ நிலைபெறுத்துகிறது. இது $G$ இன் ஒரு உட்கணம்தான் என்று உடனே நிறுவிவிடலாம். இதை $Stab_{G}(s)$ என்றும் குறிப்பதுண்டு. இதிலுள்ள $g$ க்களின் எண்ணிக்கையை $\eta (s)$ என்ற குறியீட்டால் குறிப்போம்.

மாறாமிகள்

$G$ இலுள்ள ஒவ்வொரு $g$ க்கும் $\{s\in S|gs=s\}=S_{g}$ என்ற கணம் $g$ இனால் மாற்றமுறாத கணம் எனப்படும். இதில் உள்ள ஒவ்வொரு $s$ ம் $g$ க்கு ஒரு மாறாமி (Invariance). $g$ இனுடைய மாறாமிகளின் எண்ணிக்கை $|S_{g}|.$ இதை $\psi (g)$ என்ற குறியீட்டால் குறிப்போம்.

பர்ன்ஸைட் கொற்கோள்

G என்பது வெற்றில்லாத கணம் S ஒன்றின்மேல் வரிசைமாற்றுக் குலமாக செயல்பட்டுக்கொண்டிருக்கும் ஒரு முடிவுறு குலம் என்றால், G-சுற்றுப்பாதைகளின் எண்ணிக்கை =

(*)

{\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\psi (g)

நிறுவலின் முதல் படி

கீழேயுள்ள $A$ என்ற கணத்தைப்பார்.

\{(g,s)|g\in G,s\in S\ni gs=s\}

$A$ யின் எண்ணளவையை இரண்டுவிதமாக எண்ணலாம்.

முதலில் $G$ இலுள்ள ஒவ்வொரு $g$ க்கும் $gs=s$ என்ற பண்புடன் கூடிய $s$ ஐக்கணக்கிடு. இவ்வெண்ணிக்கை = $\psi (g).$ இதனால்

|A|=\sum _{g\in G}\psi (g).

இரண்டாவதாக $S$ இலுள்ள ஒவ்வொரு $s$ க்கும் $gs=s$ என்ற பண்புடன் கூடிய $g$ ஐக் கணக்கிடு. இவ்வெண்ணிக்கை = $\eta (s).$ இதனால்

|A|=\sum _{s\in S}\eta (s).

இவ்விரண்டும் சமமானதால், நாம் (*) ஐ நிறுவிக் காட்டுவதற்குப் பதில்

$p={\frac {1}{|G|}}\sum _{s\in S}\eta (s)$

என்று காண்பித்துவிட்டால் போதும்; பர்ன்ஸைட் கொற்கோள் நிறுவப்பட்டதாய்விடும்.

பர்ன்ஸைட் கொற்கோளின் நிறுவல்

$S_{0}$ என்றொரு $G$ -சுற்றுப்பாதையை எடுத்துக் கொள்வோம். இதில் $k$ உறுப்புகள் இருப்பதாகவும் கொள்வோம். அவைகளை $s_{1},s_{2},...,s_{k}$ என்று பெயரிடு. அவைகளில் ஏதாவதொன்றை $s$ என்ற குறியீட்டால் குறிப்போம்.

$s\sim s_{1}$ . $\therefore G$ இல் $g$ என்றொரு உறுப்பு $g(s)=s_{1}$ என்ற பண்புடன் உள்ளது.

இந்த $s$ இனுடைய நிலையாக்கி $G$ இல் இருக்கும். அதில் $\eta (s)$ உறுப்புகள் இருப்பதாகக் கொண்டால், அவைகளை

\{g_{1},g_{2},...,g_{\eta (s)}\}

என்று குறிக்கலாம்.

இப்பொழுது, $B=\{gg_{1},gg_{2},...,gg_{\eta (s)}\}$ என்ற கணத்தைப்பார். இதிலிலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் வெவ்வேறான உறுப்பு. ஏனென்றால், $gg_{i}=gg_{j}$ யாக இருந்தால், $g_{i},g_{j}$ இரண்டும் ஒன்றாகிவிடும்.

$g_{i}$ என்பது $s$ ஐ $s$ க்கே கொண்டு செல்கிறது. $g$ என்பது $s$ ஐ $s_{1}$ க்குக்கொண்டு செல்கிறது. ஆக $gg_{i}$ என்பது $s$ ஐ $s_{1}$ க்குக்கொண்டு செல்கிறது. அதாவது, $gg_{1},gg_{2},gg_{3},...gg_{\eta (s)}$ எல்லாம் $s$ ஐ $s_{1}$ க்குக்கொண்டு செல்கிறது.

$s$ ஐ $s_{1}$ க்கு இழுத்துச் செல்லும் $G$ இன் உறுப்புகள் இவ்வளவேதான்; ஏனென்றால், $g_{0}$ என்றொரு உறுப்பு $G$ இல் இருந்துகொண்டு $s$ ஐ $s_{1}$ க்கு இழுத்துச் செல்லுமானால், அதை $g(g^{-1}g_{0})$ என்று எழுதலாம். இங்கு $g^{-1}g_{0}$ என்பது $s$ ஐ நிலைபெறச் செய்யும். அதனால் அது $g_{i}$ இல் ஏதாவதொன்றே.அதனால் $g_{0}$ ம் $gg_{i}$ என்ற உருவத்தில்தான் இருக்கிறது. அதாவது அது B இல் ஓருறுப்பு.