மாறிலிச் சார்பு

கணிதத்தில் மாறிலிச் சார்பு (constant function) என்பது அனைத்து உள்ளீடுகளுக்கும் ஒரே மாறிலியை வெளியீடாகக் கொண்டுள்ள ஒரு சார்பு. எடுத்துக்காட்டாக, f(x) = 4 என்று வரையறுக்கப்பட்ட சார்பு, ஒரு மாறிலிச் சார்பு. ஏனெனில் x க்குத் தரப்படும் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் f(x) இன் மதிப்பு 4 ஆகவே இருக்கிறது. மாறிலிச் சார்பின் முறையான வரையறை:

$f:A\rightarrow B\,$,

$f(x)=f(y)=k,\forall x,y\in A.k,$ ஒரு மாறிலி.

வெற்றுச் சார்பு ஒரு மாறிலிச் சார்பு என்பதை ஒரு வெறுமையான உண்மையாகக் (vacuous truth) கொள்ளலாம். ஏனென்றால் ஒரு வெற்றுக் கணத்தில் உறுப்புகள் எதுவும் கிடையாது; அதனால் அக்கணத்தின் எந்த இரு உறுப்புகளுக்கும் அவற்றின் சார்பலன்கள் வெவ்வெறானவை என்ற கூற்றுக்கே இடமில்லை.

பல்லுறுப்புக்கோவைச் சார்புகளில் பூச்சியமற்ற மாறிலிச் சார்பானது, பூச்சியப் படிகொண்ட பல்லுறுப்புக்க்கோவையாக இருக்கும்.

அனைத்து உள்ளீடுகளுக்கும் சார்பலன் பூச்சியமாக (0) இருந்தால் அச்சார்பு முற்றொருமப் பூச்சியம் (identically zero) எனப்படும்; இது ஒரு மாறிலிச் சார்பு.

பண்புகள்

• $f:A\rightarrow B\,$ என்பது மாறிலிச் சார்பு எனில்,

$\forall g,h:C\rightarrow A,f\circ g=f\circ h\,$

எடுத்துக்காட்டு:

$f,g,h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \,$

$f(x)=2,g(x)=x^{2},h(x)=x+1,\forall x\in \mathbb {R} \,$

$f\circ g(x)=f(g(x))=f(x^{2})=2\,$

$f\circ h(x)=f(h(x))=f(x+1)=2\,$

$\Rightarrow f\circ g=f\circ h\,$

• எந்தவொரு சார்புடனும் மாறிலிச் சார்பு f இன் தொகுப்புச் சார்பும் ஒரு மாறிலிச் சார்பாகவே இருக்கும்.
• மெய்யெண்களின் ஒரு இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட மெய்மதிப்புச் சார்பு f இன் அனைத்து வகைக்கெழுக்களும் பூச்சியமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அது ஒரு மாறிலிச் சார்பாக இருக்கும்.
• ஆட்களமும் இணையாட்களமும் ஒரே கணமாகக் கொண்ட மாறிலிச் சார்பு தன்னடுக்கானது
• இடவியல் வெளிகளுக்கிடையே வரையறுக்கப்பட்ட மாறிலிச் சார்புகள் தொடர்ச்சியானவை

மேற்கோள்கள்

• Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Allen and Bacon, Inc. Boston (1973)
• Constant function பிளாநெட்மேத்தில்