மீவளையச் சுருள்

மீவளையச் சுருள் அல்லது அதிபரவளைவுச் சுருள் என்பது ஒரு விஞ்சிய தள வளைகோடு ஆகும். இதைத் தலைகீழ்ச் சுருள் எனவும் அழைப்பர். இதன் சமன்பாடு (கோல்-கோண ஆட்கூறு திட்டத்தில் (polar coordinates)):

a=2 ஆக இருக்கும்போது உள்ள மீவளையச் சுருள்

$r={\frac {a}{\theta }}$

இது மையத்தில் இருந்து முடிவிலித் தொலைவில் தொடங்குகிறது (கோணம் சுழியமாக இருக்கையில் ($\theta =0$), ஆரம் அல்லது கோடு ($r$) முடிவிலியாக இருக்கும்). கோணம் மாறமாற (கூடக்கூட), கோட்டின் (ஆரத்தின்) நீளம் குறைந்துகொண்டே வந்து மையத்தை நெருங்கும். இதனால், இந்தச் சுருள் சிறுத்துக்கொண்டே வரும். சுருளின் எந்தப் புள்ளியில் இருந்தும், வளை கோடு வழியாகத் துருவத்துக்கு உள்ள தொலைவு முடிவற்றது ஆகும்.

இந்த கோல்-கோண ஆட்கூறில் (polar coordinate system) இருந்து x-y கார்ட்டீசிய ஆட்கூற்றுக்கும் மாற்றினால்:

$x=r\cos \theta ,\qquad y=r\sin \theta ,$

என்றாகும். இதனைக் கார்டீசிய முறையின், கீழ்க்காணும் பண்புக்கூறு (parametric) முறையில் மாற்றி அமைத்தால்:

$x=a{\cos t \over t},\qquad y=a{\sin t \over t},$

என்றாகும். இதில் t என்னும் பண்புக்கூறு மாறி, கோல்-கோண முறையில், கோணமாகிய θ உக்கு ஈடானது.

இந்த விரிவளை (spiral), y = a என்னும் நிலையில் ஓர் அடைகோடு (asymptote) ஒன்றை கொண்டிருக்கும்: ஏனெனில் t என்பது சுழியத்தை (0) எட்டும்பொழுது, உயரம் (y-மதிப்பு) a ஐ எட்டும், அதே நேரத்தில் கிடை அளவு (x-மதிப்பு) முடிவிலியை எட்டும்:

$\lim _{t\to 0}x=a\lim _{t\to 0}{\cos t \over t}=\infty ,$

$\lim _{t\to 0}y=a\lim _{t\to 0}{\sin t \over t}=a\cdot 1=a.$