லிண்டெமன்

கார்ல் லூயி ஃபெர்டினாண்ட் ஃபான் லிண்டெமன் (12 ஏப்ரல் 1852 - 6 மார்ச் 1939) (Karl Louis Ferdinand Lindemann) ஒரு ஜெர்மானிய கணிதவியலர். ஹனோவரில் பிறந்து, மியூனிக், கெட்டிங்கென், ஆகிய இடங்களில் படித்து, எர்லாங்கெனில் ஃபெலிக்ஸ் க்ளைனின் மாணவராக இருந்து முனைவர் பட்டம் பெற்றார். அவர் 1882 இல் $\pi$உம் ஒரு விஞ்சிய எண் என்று நிறுவல் கொடுத்து புகழடைந்தார்.

ஃபெர்டினாண்ட் ஃபான் லிண்டெமன்

லிண்டெமன் சாதனையின் முக்கியத்துவம்

லியொவில்தான் முதன் முதலில் (1844) விஞ்சிய எண்கள் என்ற எண்களை உண்டாக்கிக் காட்டினார். ஆனால் அவர் காட்டிய எண்கள் அதற்காகவே சிரமப்பட்டு உண்டாக்கிய எண்கள். ஏற்கனவே நமக்குத் தெரிந்த எந்த எண்களையும் விஞ்சிய எண் என்று அவர் காட்டவில்லை. இதனில் ஒரு கணிதத் தத்துவமே அடங்கியிருக்கிறது. நாம் எண்களை உண்டு பண்ணும்போது படைத்தல் தொழிலைச் செய்தல் போன்று யாவும் நம் ஆதிக்கத்தில் இருக்கிறது. ஆனால் ஏற்கனவே சர்ச்சையில் உள்ள கணிதமாறிலிகளான e, $\pi$ போன்ற முக்கியமான எண்களை நாம் விஞ்சிய எண்களா இல்லையா என்று பார்க்கும்போது, அவைகளின் ஆதிக்கத்தில் நாம் இருக்கிறோம். இதனால் தான் ஹெர்மைட் 1873 இல் e ஒரு விஞ்சிய எண்தான் என்று நிறுவியபோது கணித உலகம் அதை ஒரு பெரிய சாதனையாக வரவேற்றது. அவரே $\pi$ ஐயும் அதேமாதிரி தீர்மானித்துவிடுவார் என்று உலகம் எதிர்பார்த்தது. ஒன்பது ஆண்டுகள் சென்றபின் லிண்டெமன் இச்சாதனையைப்புரிந்தார்.

$\pi$ ஒரு இயற்கணித எண் அல்ல என்ற உண்மை இரண்டாயிரம் ஆண்டுகளாக கணித இயலர்கள் மட்டுமன்றி மற்ற யாவரையுமே பைத்தியம் பிடிக்கும் அளவிற்கு ஆட்டிவைத்த பழைய பிரச்சினை ஒன்றிற்கும் ஒரு முற்றுப்புள்ளி வைத்தது. அதுதான் வடிவவியலில் அளவுகோல், கவராயம் ( ruler & compass) இவைகளை மட்டும் கொண்டு ஒரு வட்டத்தின் பரப்பிற்குச் சமமான சதுரத்தை வரைவது என்ற சவால். இப்பிரச்சினைக்கு Squaring the circle என்று பெயர். இது எக்காலும் முடியாது என்பது லிண்டெமன் $\pi$ ஒரு விஞ்சிய எண் என்று நிறுவியதன் விளைவு. ஏனென்றால் $\pi$ ஒரு இயற்கணித எண்ணாக இருந்தால் தான் இது முடியும் என்று அவர் காலத்திற்கு முன்னமேயே தெரிந்த கணித உண்மை.

லிண்டெமன் - விய்ர்ஸ்ட்ராஸ் தேற்றம்

இது ஒரு எண்கோட்பாட்டுத் தேற்றம். லிண்டெமன் தேற்றத்தைவிட பலமானது. சில அடுக்குப் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு (Exponential Polynomials) சூனியப்புள்ளிகள் (Zeros) இருக்கமுடியாது என்பதைச் சொல்கிற தேற்றம். இதனுடைய கிளைத் தேற்றங்களாக, e, $\pi$ இவையிரண்டுமே விஞ்சிய எண்கள் என்று நிறுவிவிடமுடியும் . இத்தேற்றம் லிண்டெமன், வியர்ஸ்ட்ராஸ் இருவருடைய பெயர்களையும் கொண்டிருக்கிறது. இதனுடைய துல்லியமான வாசகம் பின்வருமாறு:

α₁,...,α_n தனித்தனி இயற்கணித எண்களின் தொடர்பாகவும், மற்றும் β₁,...,β_n எல்லா β_k யும் சூனியமாக இல்லாமல் ஏதாவது இயற்கணித எண்களின் தொடர்பாகவும் இருக்குமானால் ,

$\beta _{1}e^{\alpha _{1}}+\dots +\beta _{n}e^{\alpha _{n}}\neq 0$

விளைவுகள்

முதல் விளைவு:

e ஒரு இயற்கணித எண்ணாக இருந்தால், β₀,...,β_n, என்ற எண்கள் பின்வரும் சமன்பாடு ஒன்றைச் சரியாக்கும்:

$\beta _{n}e^{n}+\dots +\beta _{1}e^{1}+\beta _{0}e^{0}=0\;$

ஆனால் இது லிண்டெமன் - வியர்ஸ்ட்ராஸ் தேற்றத்தைப் பொய்யாக்குகிறது. ஃ e ஒரு இயற்கணித எண்ணல்ல.

இரண்டாவது விளைவு:

லிண்டெமன் தேற்றத்தின் விளைவேதான். $\pi$ ஒரு இயற்கணித எண்ணாக இருக்கமுடியாது.

பிற்காலத்தில் ஹில்பர்ட் e, $\pi$ இவை விஞ்சிய எண் என்பதற்கு மாற்று நிறுவல்கள் கொடுத்தார்.

லிண்டெமனுடைய மாணவர்கள்

டேவிட் ஹில்பர்ட், ஹெர்மன் மின்கொவ்ஸ்கி முதலிய சிறந்த அறிவியலர்கள் அவர் கீழ் ஆய்வுகள் செய்து முனைவர் பட்டம் பெற்றவர்கள்.ஆசிரிய-மாணவ பரம்பரையில் ஃபெலிக்ஸ் க்ளைன் - லிண்டெமன் - ஹில்பர்ட் பரம்பரை குறிப்பிடத்தக்கது.

துணை நூல்கள்

• Ferdinand Lindemann: Über die Zahl $\pi$. In: Mathematische Annalen 20 (1882), S. 213 - 225.
• David Hilbert: Ueber die Transcendenz der Zahlen e und $\pi$. In: Mathematische Annalen 43 (1893), S. 216 - 219.