வடிவவியலில் ஆய்லரின் தேற்றம்

வடிவவியலில் ஆய்லரின் தேற்றம் (Euler's theorem in geometry), ஒரு முக்கோணத்தின் உள்வட்ட மையத்திற்கும் சுற்றுவட்ட மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரத்தின் மதிப்பினைப் பின்வருமாறு தருகிறது:

ஆய்லரின் தேற்றம்:
$d=|IO|={\sqrt {R(R-2r)}}$

$d^{2}=R(R-2r)\,$

(அல்லது)

$${\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}},$$

இதில் R - சுற்றுவட்ட ஆரம், r - உள்வட்ட ஆரம்.

1765 இல் இதனை வெளியிட்ட கணிதவியலாளர் லியோனார்டு ஆய்லரின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. 1746 இல் வில்லியம் சாப்பல் என்பவராலும் இத்தேற்றத்தின் முடிவு வெளியிடப்பட்டதாகும்.

இத்தேற்றத்தின் கூற்றிலிருந்து கிடைக்கும் சமனின்மை

$R\geq 2r$ ஆய்லரின் சமனின்மை என அழைக்கப்படுகிறது.. இதிலுள்ள சமக்குறி சமபக்க முக்கோணத்திற்கு மட்டுமே பொருந்தும்.

இரு மைய நாற்கரத்தின் கார்லிட்ஸின் முற்றொருமை, இத்தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்.

ஆய்லர் சமனின்மையின் வலுவான வடிவம்

ஆய்லர் சமனின்மையின் வலுவான வடிவம்:

$${\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2,$$

$a$, $b$, $c$ ஆகிய மூன்றும் முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்களைக் குறிக்கின்றன.

நிறுவல்

இத்தேற்றத்தின் நிறுவலுக்கான படம்(நிறுவலுடன்).

• முக்கோணம் ABC -ன் சுற்றுவட்ட மையம் O , உள்வட்ட மையம் I என்க.
• கோட்டுத்துண்டு AI -ன் நீட்டிப்பு சுற்றுவட்டத்தைப் புள்ளி L -ல் சந்தித்தால், வட்டவில் BC -ன் நடுப்புள்ளியாக L இருக்கும்.
• கோட்டுத்துண்டு LO வரைந்து நீட்டிக்க, அது சுற்றுவட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளி M என்க.
• I -லிருந்து AB -க்கு வரையப்பட்ட செங்குத்தின் அடி, புள்ளி D என்க.
• $ID=r\,$.

$\triangle ADI\sim \triangle MBL\,$ (வடிவொத்த முக்கோணங்கள்)

${\frac {ID}{BL}}={\frac {AI}{ML}}$

$ID\times ML=AI\times BL$

$2Rr=AI\times BL\,$----------------(1)

• $BI$ வரைக.

$\triangle BIL$ -ல்:

$\angle BIL={\frac {\angle ABC}{2}}+{\frac {\angle A}{2}}$ --------(முக்கோணம் ABI -ன் ஒரு வெளிக்கோணம் BIL. மேலும் ஒரு முக்கோணத்தின் இரு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை, மூன்றாவது வெளிக்கோணத்திற்குச் சமம்.)

$\angle IBL={\frac {\angle ABC}{2}}+\angle CBL={\frac {\angle ABC}{2}}+{\frac {\angle A}{2}}$

(கோணங்கள் CBL, A/2 இரண்டும் சுற்றுவட்ட வில் LC -ஆனது மீதியுள்ள வட்டவில்லின் மீது அமையும் B மற்றும் A புள்ளிகளில் தாங்கும் கோணங்களாக அமைவதால் இரண்டும் சமம்.)

$\angle BIL=\angle IBL$

எனவே முக்கோணம் BIL ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம்.

$BL=IL\,$,

இம்மதிப்பை (1)-ல் பிரதியிட:

$2Rr=AI\times IL$--------(2)

• $OI$ -ஐ நீட்டிக்க அது சுற்றுவட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளிகள் P , Q என்க.

$PI\times QI=AI\times IL$ ----(ஒரு வட்டத்தின் இரு வெட்டிக்கொள்ளும் நாண்கள் ஒவ்வொன்றின் வெட்டுத்துண்டுகளின் பெருக்கற்பலன்கள் சமம்)

$PI\times QI=2Rr\,$-----( (1)-ன் படி)

$(R+d)(R-d)=2Rr\,$ --------(d -சுற்றுவட்ட மையத்திற்கும் உள்வட்ட மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம்.)

$d^{2}=R(R-2r)\,$. ---------(தேற்ற முடிவு நிறுவப்படுகிறது.)

வெளி இணைப்புகள்

• Euler's theorem on MathWorld