வடிவவியலில் ஆய்லரின் தேற்றம்

வடிவவியலில் ஆய்லரின் தேற்றம் (Euler's theorem in geometry), ஒரு முக்கோணத்தின் உள்வட்ட மையத்திற்கும் சுற்றுவட்ட மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரத்தின் மதிப்பினைப் பின்வருமாறு தருகிறது[1][2]:

ஆய்லரின் தேற்றம்:
(அல்லது)

இதில் R - சுற்றுவட்ட ஆரம், r - உள்வட்ட ஆரம்.

1765 இல் இதனை வெளியிட்ட கணிதவியலாளர் லியோனார்டு ஆய்லரின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது.[3] 1746 இல் வில்லியம் சாப்பல் என்பவராலும் இத்தேற்றத்தின் முடிவு வெளியிடப்பட்டதாகும்.[4]

இத்தேற்றத்தின் கூற்றிலிருந்து கிடைக்கும் சமனின்மை

ஆய்லரின் சமனின்மை என அழைக்கப்படுகிறது.[5][6][7]. இதிலுள்ள சமக்குறி சமபக்க முக்கோணத்திற்கு மட்டுமே பொருந்தும்.

இரு மைய நாற்கரத்தின் கார்லிட்ஸின் முற்றொருமை, இத்தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்.

ஆய்லர் சமனின்மையின் வலுவான வடிவம்தொகு

ஆய்லர் சமனின்மையின் வலுவான வடிவம்[7]:

 
 ,  ,   ஆகிய மூன்றும் முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்களைக் குறிக்கின்றன.

நிறுவல்தொகு

 
இத்தேற்றத்தின் நிறுவலுக்கான படம்(நிறுவலுடன்).
  • முக்கோணம் ABC -ன் சுற்றுவட்ட மையம் O , உள்வட்ட மையம் I என்க.
  • கோட்டுத்துண்டு AI -ன் நீட்டிப்பு சுற்றுவட்டத்தைப் புள்ளி L -ல் சந்தித்தால், வட்டவில் BC -ன் நடுப்புள்ளியாக L இருக்கும்.
  • கோட்டுத்துண்டு LO வரைந்து நீட்டிக்க, அது சுற்றுவட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளி M என்க.
  • I -லிருந்து AB -க்கு வரையப்பட்ட செங்குத்தின் அடி, புள்ளி D என்க.
  •  .
  (வடிவொத்த முக்கோணங்கள்)
 
 
 ----------------(1)
  •   வரைக.
  -ல்:
  --------(முக்கோணம் ABI -ன் ஒரு வெளிக்கோணம் BIL. மேலும் ஒரு முக்கோணத்தின் இரு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை, மூன்றாவது வெளிக்கோணத்திற்குச் சமம்.)
 
(கோணங்கள் CBL, A/2 இரண்டும் சுற்றுவட்ட வில் LC -ஆனது மீதியுள்ள வட்டவில்லின் மீது அமையும் B மற்றும் A புள்ளிகளில் தாங்கும் கோணங்களாக அமைவதால் இரண்டும் சமம்.)
 

எனவே முக்கோணம் BIL ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம்.

 ,
இம்மதிப்பை (1)-ல் பிரதியிட:
 --------(2)
  •   -ஐ நீட்டிக்க அது சுற்றுவட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளிகள் P , Q என்க.
  ----(ஒரு வட்டத்தின் இரு வெட்டிக்கொள்ளும் நாண்கள் ஒவ்வொன்றின் வெட்டுத்துண்டுகளின் பெருக்கற்பலன்கள் சமம்)
 -----( (1)-ன் படி)
  --------(d -சுற்றுவட்ட மையத்திற்கும் உள்வட்ட மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம்.)
 . ---------(தேற்ற முடிவு நிறுவப்படுகிறது.)

மேற்கோள்கள்தொகு

  1. Johnson, Roger A. (2007) [1929], Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., p. 186
  2. Dunham, William (2007), The Genius of Euler: Reflections on his Life and Work, Spectrum Series, 2, Mathematical Association of America, p. 300, ISBN 9780883855584
  3. Leversha, Gerry; Smith, G. C. (November 2007), "Euler and triangle geometry", The Mathematical Gazette, 91 (522): 436–452, JSTOR 40378417
  4. Chapple, William (1746), "An essay on the properties of triangles inscribed in and circumscribed about two given circles", Miscellanea Curiosa Mathematica, 4: 117–124. The formula for the distance is near the bottom of p.123.
  5. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2009), When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Dolciani Mathematical Expositions, 36, Mathematical Association of America, p. 56, ISBN 9780883853429
  6. Debnath, Lokenath (2010), The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute, World Scientific, p. 124, ISBN 9781848165250
  7. 7.0 7.1 Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko (2012), "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", Forum Geometricorum, 12: 197–209; see p. 198

வெளி இணைப்புகள்தொகு