ஒத்தநிலை மையம்

வடிவவியலில், ஒரு புள்ளியிலிருந்து குறைந்தபட்சம் இரு வடிவொத்த வடிவங்களை ஒன்றை மற்றொன்றின் பெருக்கமாகவோ அல்லது குறுக்கமாகவோ பார்க்க முடியுமானால் அப்புள்ளியானது ஒத்தநிலை மையம் (homothetic center) எனப்படும். ஒவ்வொரு வடிவத்தின் அளவும், ஒத்தநிலை மையத்திலிருந்து அதன் தூரத்தின் விகிதசமத்தில் இருக்கும்.

படம் 2: ஒத்தநிலை மையம் S ஆல் தொடர்புபடுத்தப்பட்ட இரு வடிவவியல் வடிவங்கள்

ஒத்தநிலை மையம் வடிவங்களுக்கு வெளிப்புறமாக அமைந்தால், அந்த வடிவங்கள் ஒன்றுக்கொன்று நேர் வடிவொத்தவையாக இருக்கும்; அவற்றின் கோணங்கள் ஒரே திசைப்போக்கில் அமையும் (படம் 1, 2). ஒத்தநிலை மையம் வடிவங்களின் உட்பக்கம் அமைந்தால், அவ்வடிவங்கள் ஒன்று மற்றொன்றின் அளவுமாற்றம் அடைந்த ஆடி பிம்பமாக இருக்கும்; அவற்றின் கோணங்கள் எதிர் திசைப்போக்கு கொண்டிருக்கும் (படம் 3).

ஒத்தநிலை மையமானது வடிவொப்புமை மையம் (center of similarity அல்லது center of similitude) எனவும் அழைக்கப்படும்.

பொது பல்கோணங்கள்

இரு வடிவவியல் வடிவங்களுக்கு ஒரு ஒத்தநிலை மையம் இருந்தால் அவை இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று வடிவொத்தவையாக இருக்கும். அதாவது ஒத்த உச்சிகளில் அமையும் அவற்றின் கோணங்கள் சமமாகவும் அளவில் மட்டும் மாற்றமுடையவையாகவும் இருக்கும். இரு வடிவங்களும் அவற்றின் ஒத்தநிலை மையமும் ஒரே தளத்தில் அமையவேண்டும் என்பதில்லை; ஒத்தநிலை மையத்திலிருந்து ஒரு முப்பரிமாண வீழல் மூலம் அவை தொடர்புபடுத்தப் பட்டிருந்தால் போதுமானது.

ஒத்தநிலை மையங்கள் வெளிப்புறமாகவோ அல்லது உட்புறமாகவோ அமையலாம். மையம் உட்புறமாக இருந்தால், வடிவங்கள் ஒன்று மற்றொன்றின் அளவுமாற்ற ஆடி பிம்பமாக இருக்கும். ஒரு வடிவிலுள்ள கடிகாரதிசை கோணத்திற்கு ஒத்ததான கோணம் மற்றொரு வடிவில் எதிர்கடிகாரதிசையில் இருக்கும். மாறாக ஒத்தநிலை மையம் வெளிப்பக்கமாக இருக்கும்போது, இரு வடிவங்களும் நேர் வடிவொத்தவையாகவும் அவற்றின் கோணங்கள் ஒரே திசைப்போக்குடனும் இருக்கும்.

இரு வட்டங்களின் (சிவப்பு) ஒத்தநிலை மையங்கள் (கரும்புள்ளிகள்): வெளிப்புற மையம் மேலும், உட்புற ஒத்தநிலை மையம் கீழும் உள்ளன.

வட்டங்கள்

பொதுவாகவே வட்டங்கள் ஒன்றுக்கொன்று வடிவொத்தவையாகவும் ஆடி சமச்சீருடனும் இருக்கும். எனவே ஒரு சோடி வட்டங்களுக்கு வெளிப்பக்க மற்றும் உட்பக்க ஒத்தநிலை மையங்கள் இரண்டும் உண்டு. இரு வட்டங்களின் மையங்கள் ஒரே புள்ளியாகவும் ஆரங்கள் சமமாகவும் இருந்தால் மட்டும் இது பொருந்தாது. இரு ஒத்தநிலை மையங்களும் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட இரு வட்டங்களின் மையங்களை இணைக்கும் கோட்டின் மீதமையும் (படம் 3).

ஒத்தநிலை மையங்களைக் கணக்கிடல்

படம் 3: உள் (I), வெளி (E) ஒத்தநிலை மையங்கள் கொண்ட இரு வட்டங்கள். வட்ட ஆரங்கள் (r₁ and r₂) இரண்டும் ஒத்தநிலை மையங்களிலிருந்துள்ள தூரத்தின் விகிதசமமாகும். A₁, A₂ இரண்டும் ஒத்த புள்ளிகள்; B₁, B₂ இரண்டும் ஒத்த புள்ளிகள்.

எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட ஒரு சோடி வட்டங்களின் ஒத்தநிலை மையங்களைப் பலவகைகளில் கணக்கிடலாம்.பகுமுறை வடிவவியலில் உட்பக்க ஒத்தநிலை மையமானது, வட்டங்களின் மையங்களின் எடையிடப்பட்ட சராசரி ஆகும். இச்சராசரியில் பயன்படுத்தப்பட்ட எடைகள் எதிர் வட்டத்தின் ஆரங்களுக்கு விகிதசமத்தில் இருக்கும்.

வட்டங்களின் மையங்கள்:

C_{1}

:

(x_{1},y_{1})

;

C_{2}

:

(x_{2},y_{2})

வட்டங்களின் ஆரங்கள்:

r_{1},

r_{2}

எனில்,

உள் ஒத்தநிலை மையம் (I):

(x_{0},y_{0}),

கீழுள்ள சமன்பாட்டால் கணக்கிடப்படுகிறது:

(x_{0},y_{0})={\frac {r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{1},y_{1})+{\frac {r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{2},y_{2}).

இரு வட்டங்களில் ஏதாவது ஒன்றின் ஆரத்தை எதிர்மமாக எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் இதே சமன்பாட்டைக்கொண்டு வெளி ஒத்தநிலை மையத்தையும் (E) கணக்கிடலாம்::

வெளி ஒத்தநிலை மையம் (E):

(x_{e},y_{e})={\frac {-r_{2}}{r_{1}-r_{2}}}(x_{1},y_{1})+{\frac {r_{1}}{r_{1}-r_{2}}}(x_{2},y_{2}).

பொதுவாக, இரு ஆரங்களையும் ஒரே குறிகளுடன் (இரண்டும் + அல்லது இரண்டும் - ) எடுத்துக்கொண்டால் மேலுள்ள சமன்பாடு உள் ஒத்தநிலை மையத்தையும் வெவ்வேறு குறிகளுடன் (ஒன்று + மற்றொன்று - ) எடுத்துக்கொண்டால் வெளி ஒத்தநிலை மையத்தையும் கொடுக்கும். இரு ஆரங்களும் சுழியங்களாகவோ அல்லது இரண்டும் சமமதிப்புடன் வெவ்வேறு குறிகளுடனோ இருந்தால் தவிர, பிற எல்லா மதிப்புகளுக்கும் இச்சமன்பாடு உள் ஒத்தநிலை மையத்தைத் தரும். ஆனால் வெளி ஒத்தநிலை மையத்தைக் கணக்கிடுவதற்கு இரு ஆரங்களும் கட்டாயம் வெவ்வேறு மதிப்புகளாக இருக்க வேண்டும். இல்லாவிடில் சுழியத்தால் வகுக்கும் சிக்கல் ஏற்படும்.

தொகுப்புமுறை வடிவவியலில், வட்டத்துக்கு ஒன்றாக இரு இணை விட்டங்கள் வரையப்படுகின்றன. இவை வட்டமையங்களின் கோட்டுடன் உருவாக்கும் கோணம்: α . இந்த விட்டங்களின் ஒத்த முனைகள் A₁, A₂ முனைகளையும் B₁, B₂ முனைகளையும் இணைத்து வரையப்படும் கோடுகள் அவற்றுக்குள்ளாகவும் வட்ட மையங்களின் கோட்டையும் வெளி ஒத்தநிலை மையத்தில் வெட்டுகின்றன. மாறாக, A₁B₂ மற்றும் B₁A₂ கோடுகள் அவற்றுக்குள்ளாகவும் வட்டமையங்களின் கோட்டையும் உள் ஒத்தநிலை மையத்தில் வெட்டுகின்றன.

இதன் எல்லைநிலையாக, இரு வட்டங்களுக்கும் வரையப்படும் தொடுகோடு ஏதாவது ஒரு ஒத்தநிலை மையத்தின் வழியாகச் செல்லும். இத்தொடுகோடு இணை விட்டங்களுடன் தொடுபுள்ளியில் செங்கோணத்தை உருவாக்கும். இந்தத் தொடுகோட்டிற்கு எதிர்புறங்களில் வட்டங்கள் இருந்தால், தொடுகோடு உள் ஒத்த மையம் வழியாகவும் (படம் 3), ஒரே பக்கத்தில் வட்டங்கள் இருந்தால் தொடுகோடு வெளி ஒத்தநிலை மையத்தின் வழியாகவும் செல்லும்.

ஒத்த மற்றும் எதிரொத்த புள்ளிகள்

படம் 4: இரு வட்டங்கள் (பச்சை, நீலம்). வெளி ஒத்தநிலை மையம் E; உள் ஒத்தநிலை மையம் I. எதிரொத்த புள்ளிகள் Q, P′ மற்றும் S, R′. இவை நான்கும் ஒரு வட்டத்தின் மீதமைகின்றன. இம்மூன்று வட்டங்களின் சமதொடுகோட்டச்சுச் சந்தி G.

ஒத்தநிலை மையம் ஒன்றிலிருந்து புறப்படும் ஒரு கதிர் இரு வட்டங்கள் ஒவ்வொன்றையும் இரு புள்ளிகளில் சந்திக்கும். இந்நான்கு புள்ளிகளில் இரண்டு புள்ளிகள் ஒத்த புள்ளிகளாகவும் மற்ற இரு புள்ளிகளும் எதிரொத்த புள்ளிகளாகவும் இருக்கும். ஒத்த புள்ளிகள் எனில் அவற்றிலிருந்து ஒவ்வொரு வட்டத்துக்கும் வரையப்படும் ஆரங்கள் இரண்டும் வட்டமையங்களின் கோட்டுடன் சமகோணங்களை உருவாக்கும். படம் 4 இல் Q, Q′ புள்ளிகள் இரண்டும் ஒத்த புள்ளிகள். ஒத்தநிலை மையத்துடன் ஒருகோடமை புள்ளிகளாகவுள்ள வட்டத்தின் மீதான புள்ளிகள் ஒத்த புள்ளிகளாக இல்லாவிட்டால் அவை எதிரொத்த புள்ளிகளாகும். அதாவது அவற்றிலிருந்து வட்டங்களுக்கு வரையப்படும் ஆரங்கள் வட்டமையங்களின் கோட்டுடன் சமகோணங்களை உண்டாக்காது. படம் 4 இல் Q, P′ இரண்டும் எதிரொத்த புள்ளிகள்.^[1]

எதிரொத்த புள்ளி சோடிகள் ஒரு வட்டத்தின் மீதமையும்

ஒரே ஒத்தநிலை மையத்திலிருந்து வரையப்படும் இரு கதிர்கள் இரு வட்டங்களையும் வெட்டும்போது கிடைக்கின்ற எதிரொத்தபுள்ளி சோடிகள் ஒரு வட்டத்தின் மீதமையும்.

வெளி ஒத்தநிலை மையம்

எதிரொத்த புள்ளிகளின் சோடிகள்: (Q,P′), (S,R′)

இந்நான்கும் ஒரு வட்டத்தின் மீதமையும்.

நிறுவல்

படம் 4 இல்,

∠QES=∠Q′ES′
${\frac {EQ}{EQ^{\prime }}}={\frac {ES}{ES^{\prime }}}$ (E ஒத்தநிலை மையமாதலால்)

மேற்காணும் இரு முடிவுகளின்படி, முக்கோணங்கள் EQS, EQ′S′ இரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள். எனவே வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்புகளின்படி, கீழுள்ள முடிவு கிடைக்கிறது

∠ESQ=∠ES′Q′=α (வடிவொத்த முக்கோணங்களின் ஒத்த கோணங்கள் சமம்)

அடுத்து உள்வரை கோணத் தேற்றத்தின்படி:

∠EP′R′=∠ES′Q′

மேலும் ∠QSR′, ∠ESQ இரண்டும் மிகைநிரப்பு கோணங்கள் ஆதலால்:

∠QSR′=180°-α

இம்முடிவுகளை நாற்கரம் QSR′P′ இல் பயன்படுத்த:

∠QSR′+∠QP′R′=180°-α+α=180° . எனவே QSR′P′ ஒரு வட்ட நாற்கரம்; அதாவது ஒரு வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட நாற்கரம். எனவே எதிரொத்த புள்ளி சோடிகள் ஒரு வட்டத்தின் மீதமையும் என்பது உண்மையாகிறது.

மேலும் வெட்டுக்கோட்டுத் தேற்றத்தின்படி பின்வரும் முடிவும் கிடைக்கும்:

EQ·EP′=ES·ER′.

இதேபோல மற்ற இரு சோடி எதிரொத்த புள்ளிகளும் ((P,Q′), (R′,S)) ஒரு வட்டத்தில் அமையும் என்பதையும் நிறுவலாம்.

உள் ஒத்தநிலை மையம் I

எதிரொத்த புள்ளி சோடிகள்: (P,Q′) , (RS′)

இச் சோடிப் புள்ளிகள் ஒரு வட்டத்தின் மீதமையும். அதாவது நாற்கரம் PRS′Q′ ஒரு வட்ட நாற்கரமாக இருக்கும். மேலும் EP·EQ′=ER·ES′.

நிறுவல்

PIR, P′IR′ இரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள் எனவே:

∠RPI=∠IP′R′=α.

உள்வரை கோணத்தேற்றத்தின்படி: ∠RS′Q′=∠PP′R′=α .

எனவே கோட்டுத்துண்டு RQ′ , P, S′ ஆகிய இரு புள்ளிகளிலிருந்தும் ஒரே கோணத்தில் பார்க்கப்படுகிறது. அதாவது R, P, S′ Q′ நான்கும் ஒரு வட்டத்தின் மீது அமையும்.

மேலும் வெட்டும் நாண்களின் தேற்றப்படி:

IP·IQ′=IR·IS′.

இதேபோல மற்ற எதிரொத்தபுள்ளி சோடிகள் (Q,P&prime) , (S,R′) இரண்டும் ஒரு வட்டத்தின் மீதமையும் எனவும் IQ·IP′=IS·IR′. எனவும் நிறுவலாம்.

மேற்கோள்கள்

↑ Weisstein, Eric W., Antihomologous Points, MathWorld--A Wolfram Web Resource

Johnson RA (1960). Advanced Euclidean Geometry: An Elementary treatise on the geometry of the Triangle and the Circle. New York: Dover Publications.
Kunkel, Paul (2007), "The tangency problem of Apollonius: three looks" (PDF), BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics, 22 (1): 34–46, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1080/17498430601148911

[1] Weisstein, Eric W., Antihomologous Points, MathWorld--A Wolfram Web Resource

[1]