கணிதத்தில் வரையறுத்த தொகையீடு
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}
ஆனது,
xy -தளத்தில் f சார்பின் வளைகோடு , x -அச்சு, நிலைக்குத்துக் கோடுகள் x = a , x = b ஆகிய நான்கு எல்லைகளுக்கு இடையே அடைவுபெறும் பரப்பைக் குறிக்கும். x -அச்சுக்கு மேற்புறம் அமையும் பரப்பானது மொத்தப்பரப்புடன் இணைக்கப்படும், x -அச்சுக்குக் கீழ்ப்புறம் அமையும் பரப்பானது மொத்தப் பரப்பிலிருந்து நீக்கப்படும்.
முடிவுறா இடைவெளியாக அமைந்தால் வரையறுத்த தொகையானது, தகா வரையறுத்த தொகையீடு (improper integral ) எனப்படும். இந்த தகா வரையறுத்த தொகையீடு, தகுந்த எல்லைகாணும் முறைகளால் வரையறுக்கப்படும்.
எடுத்துக்காட்டாக:
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
=
lim
b
→
∞
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx}
அதிகப் பயன்பாடுள்ள வரையறுத்த தொகையீடுகளின் பட்டியல் (List of definite integrals) கீழே தரப்படுகிறது.
விகிதமுறு, விகிதமுறா சார்புகள் கொண்ட வரையறுத்த தொகையீடுகள்
தொகு
முக்கோணவியல் சார்புகள் கொண்ட வரையறுத்த தொகையீடுகள்
தொகு
தொகையிடப்படும் சார்புகள் முக்கோணவியல்சார்புகளாக அமையும் வரையறுத்த தொகையீடுகள்:
∫
0
π
sin
m
x
sin
n
x
d
x
=
{
0
if
m
≠
n
π
/
2
if
m
=
n
m
,
n
integers
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin mx\sin nx\,dx={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\\pi /2&{\text{if }}m=n\end{cases}}\ \ m,n{\text{ integers}}}
∫
0
π
cos
m
x
cos
n
x
d
x
=
{
0
if
m
≠
n
π
/
2
if
m
=
n
m
,
n
integers
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos mx\cos nxdx={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\\pi /2&{\text{if }}m=n\end{cases}}\ \ m,n{\text{ integers}}}
∫
0
π
sin
m
x
cos
n
x
d
x
=
{
0
if
m
+
n
even
2
m
m
2
−
n
2
if
m
+
n
odd
m
,
n
integers
.
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin mx\cos nx\,dx={\begin{cases}0&{\text{if }}m+n{\text{ even}}\\{\frac {2m}{m^{2}-n^{2}}}&{\text{if }}m+n{\text{ odd}}\end{cases}}\ \ m,n{\text{ integers}}.}
∫
0
π
/
2
sin
2
x
d
x
=
∫
0
π
/
2
cos
2
x
d
x
=
π
/
4
{\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2}x\,dx=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}x\,dx=\pi /4}
∫
0
π
/
2
sin
2
m
x
d
x
=
∫
0
π
/
2
cos
2
m
x
d
x
=
1
×
3
×
5
×
⋯
×
(
2
m
−
1
)
2
×
4
×
6
×
⋯
×
2
m
π
2
m
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2m}x\,dx=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2m}x\,dx={\frac {1\times 3\times 5\times \cdots \times (2m-1)}{2\times 4\times 6\times \cdots \times 2m}}{\frac {\pi }{2}}\ \ m=1,2,3,\ldots }
∫
0
π
/
2
sin
2
m
+
1
x
d
x
=
∫
0
π
/
2
cos
2
m
+
1
x
d
x
=
2
×
4
×
6
×
⋯
×
2
m
1
×
3
×
5
×
⋯
×
(
2
m
−
1
)
m
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2m+1}x\,dx=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2m+1}x\,dx={\frac {2\times 4\times 6\times \cdots \times 2m}{1\times 3\times 5\times \cdots \times (2m-1)}}\ \ m=1,2,3,\ldots }
∫
0
π
/
2
sin
2
p
−
1
cos
2
q
−
1
x
d
x
=
Γ
(
p
)
Γ
(
q
)
2
Γ
(
p
+
q
{\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2p-1}\cos ^{2q-1}x\,dx={\frac {\Gamma (p)\Gamma (q)}{2\Gamma (p+q}}}
∫
0
∞
sin
p
x
x
d
x
=
{
π
/
2
if
p
>
0
0
if
p
=
0
−
π
/
2
if
p
<
0
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin px}{x}}\,dx={\begin{cases}\pi /2&{\text{if }}p>0\\0&{\text{if }}p=0\\-\pi /2&{\text{if }}p<0\end{cases}}}
∫
0
∞
sin
p
x
cos
q
x
x
d
x
=
{
0
if
p
>
q
>
0
π
/
2
if
0
<
p
<
q
π
/
4
if
p
=
q
>
0
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin px\cos qx}{x}}\ dx={\begin{cases}0&{\text{ if }}p>q>0\\\pi /2&{\text{ if }}0<p<q\\\pi /4&{\text{ if }}p=q>0\end{cases}}}
∫
0
∞
sin
p
x
sin
q
x
x
2
d
x
=
{
π
p
/
2
if
0
<
p
≤
q
π
q
/
2
if
0
<
q
≤
p
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin px\sin qx}{x^{2}}}\ dx={\begin{cases}\pi p/2&{\text{ if }}0<p\leq q\\\pi q/2&{\text{ if }}0<q\leq p\end{cases}}}
∫
0
∞
sin
2
p
x
x
2
d
x
=
π
p
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}px}{x^{2}}}\ dx={\frac {\pi p}{2}}}
∫
0
∞
1
−
cos
p
x
x
2
d
x
=
π
p
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1-\cos px}{x^{2}}}\ dx={\frac {\pi p}{2}}}
∫
0
∞
cos
p
x
−
cos
q
x
x
d
x
=
ln
q
p
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos px-\cos qx}{x}}\ dx=\ln {\frac {q}{p}}}
∫
0
∞
cos
p
x
−
cos
q
x
x
2
d
x
=
π
(
q
−
p
)
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos px-\cos qx}{x^{2}}}\ dx={\frac {\pi (q-p)}{2}}}
∫
0
∞
cos
m
x
x
2
+
a
2
d
x
=
π
2
a
e
−
m
a
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos mx}{x^{2}+a^{2}}}\ dx={\frac {\pi }{2a}}e^{-ma}}
∫
0
∞
x
sin
m
x
x
2
+
a
2
d
x
=
π
2
e
−
m
a
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x\sin mx}{x^{2}+a^{2}}}\ dx={\frac {\pi }{2}}e^{-ma}}
∫
0
∞
sin
m
x
x
(
x
2
+
a
2
)
d
x
=
π
2
a
2
(
1
−
e
−
m
a
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin mx}{x(x^{2}+a^{2})}}\ dx={\frac {\pi }{2a^{2}}}(1-e^{-ma})}
∫
0
2
π
d
x
a
+
b
sin
x
=
2
π
a
2
−
b
2
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{a+b\sin x}}={\frac {2\pi }{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}
∫
0
2
π
d
x
a
+
b
cos
x
=
2
π
a
2
−
b
2
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{a+b\cos x}}={\frac {2\pi }{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}
∫
0
π
2
d
x
a
+
b
cos
x
=
cos
−
1
(
b
/
a
)
a
2
−
b
2
{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {dx}{a+b\cos x}}={\frac {\cos ^{-1}(b/a)}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}
∫
0
2
π
d
x
(
a
+
b
sin
x
)
2
=
∫
0
2
π
d
x
(
a
+
b
cos
x
)
2
=
2
π
a
(
a
2
−
b
2
)
3
/
2
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{(a+b\sin x)^{2}}}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{(a+b\cos x)^{2}}}={\frac {2\pi a}{(a^{2}-b^{2})^{3/2}}}}
∫
0
2
π
d
x
1
−
2
a
cos
x
+
a
2
=
2
π
1
−
a
2
,
0
<
a
<
1
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{1-2a\cos x+a^{2}}}={\frac {2\pi }{1-a^{2}}}\ \ \ ,\ 0<a<1}
∫
0
π
x
sin
x
d
x
1
−
2
a
cos
x
+
a
2
=
{
π
a
ln
(
1
+
a
)
if
|
a
|
<
1
π
ln
(
1
+
1
/
a
)
if
|
a
|
>
1
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {x\sin x\ dx}{1-2a\cos x+a^{2}}}={\begin{cases}{\frac {\pi }{a}}\ln(1+a)&{\text{if }}|a|<1\\\pi \ln(1+1/a)&{\text{if }}|a|>1\end{cases}}}
∫
0
π
cos
m
x
d
x
1
−
2
a
cos
x
+
a
2
=
π
a
m
1
−
a
2
,
a
2
<
1
,
m
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {\cos mx\ dx}{1-2a\cos x+a^{2}}}={\frac {\pi a^{m}}{1-a^{2}}}\quad ,a^{2}<1,\ m=0,1,2,\dots }
∫
0
∞
sin
a
x
2
d
x
=
∫
0
∞
cos
a
x
2
=
1
2
π
2
a
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin ax^{2}\ dx=\int _{0}^{\infty }\cos ax^{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2a}}}}
∫
0
∞
sin
a
x
n
=
1
n
a
1
/
n
Γ
(
1
/
n
)
sin
π
2
n
,
n
>
1
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin ax^{n}={\frac {1}{na^{1/n}}}\Gamma (1/n)\sin {\frac {\pi }{2n}}\quad ,n>1}
∫
0
∞
cos
a
x
n
=
1
n
a
1
/
n
Γ
(
1
/
n
)
cos
π
2
n
,
n
>
1
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos ax^{n}={\frac {1}{na^{1/n}}}\Gamma (1/n)\cos {\frac {\pi }{2n}}\quad ,n>1}
∫
0
∞
sin
x
x
d
x
=
∫
0
∞
cos
x
x
d
x
=
π
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{\sqrt {x}}}\ dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos x}{\sqrt {x}}}\ dx={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}}
∫
0
∞
sin
x
x
p
d
x
=
π
2
Γ
(
p
)
sin
(
p
π
/
2
)
,
0
<
p
<
1
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x^{p}}}\ dx={\frac {\pi }{2\Gamma (p)\sin(p\pi /2)}},\quad 0<p<1}
∫
0
∞
cos
x
x
p
d
x
=
π
2
Γ
(
p
)
cos
(
p
π
/
2
)
,
0
<
p
<
1
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos x}{x^{p}}}\ dx={\frac {\pi }{2\Gamma (p)\cos(p\pi /2)}},\quad 0<p<1}
∫
0
∞
sin
a
x
2
cos
2
b
x
d
x
=
1
2
π
2
a
(
cos
b
2
a
−
sin
b
2
a
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin ax^{2}\cos 2bx\ dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2a}}}(\cos {\frac {b^{2}}{a}}-\sin {\frac {b^{2}}{a}})}
∫
0
∞
cos
a
x
2
cos
2
b
x
d
x
=
1
2
π
2
a
(
cos
b
2
a
+
sin
b
2
a
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos ax^{2}\cos 2bx\ dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2a}}}(\cos {\frac {b^{2}}{a}}+\sin {\frac {b^{2}}{a}})}
அடுக்குக்குறிச் சார்புகள் கொண்ட வரையறுத்த தொகையீடுகள்
தொகு
தொகையிடப்படும் சார்புகள் அடுக்குக்குறிச் சார்புகளாக அமையும் வரையறுத்த தொகையீடுகள்:
∫
0
∞
e
−
a
x
cos
b
x
d
x
=
a
a
2
+
b
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ax}\cos bx\,dx={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}}
∫
0
∞
e
−
a
x
sin
b
x
d
x
=
b
a
2
+
b
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ax}\sin bx\,dx={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}}
∫
0
∞
e
−
a
x
sin
b
x
x
d
x
=
tan
−
1
b
a
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {{}e^{-ax}\sin bx}{x}}\,dx=\tan ^{-1}{\frac {b}{a}}}
∫
0
∞
e
−
a
x
−
e
−
b
x
x
d
x
=
ln
b
a
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}-e^{-bx}}{x}}\,dx=\ln {\frac {b}{a}}}
∫
0
∞
e
−
a
x
2
d
x
=
1
2
π
a
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-ax^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}}
∫
0
∞
e
−
a
x
2
cos
b
x
d
x
=
1
2
π
a
e
−
b
2
/
4
a
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-ax^{2}}}\cos bx\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{-b^{2}/4a}}
∫
0
∞
e
−
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
d
x
=
1
2
π
a
e
(
b
2
−
4
a
c
)
/
4
a
erfc
b
2
a
,
where
erfc
(
p
)
=
2
π
∫
p
∞
e
−
x
2
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{(b^{2}-4ac)/4a}\ \operatorname {erfc} {\frac {b}{2{\sqrt {a}}}},{\text{ where }}\operatorname {erfc} (p)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{p}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx}
∫
−
∞
+
∞
e
−
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
d
x
=
π
a
e
(
b
2
−
4
a
c
)
/
4
a
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\ dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{(b^{2}-4ac)/4a}}
∫
0
∞
x
n
e
−
a
x
d
x
=
Γ
(
n
+
1
)
a
n
+
1
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}\ dx={\frac {\Gamma (n+1)}{a^{n+1}}}}
∫
0
∞
x
m
e
−
a
x
2
d
x
=
Γ
[
(
m
+
1
)
/
2
]
2
a
(
m
+
1
)
/
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{m}e^{-ax^{2}}\ dx={\frac {\Gamma [(m+1)/2]}{2a^{(m+1)/2}}}}
∫
0
∞
e
−
a
x
2
−
b
/
x
2
d
x
=
1
2
π
a
e
−
2
a
b
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}-b/x^{2}}\ dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{-2{\sqrt {ab}}}}
∫
0
∞
x
e
x
−
1
d
x
=
ζ
(
2
)
=
π
2
6
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\ dx=\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
∫
0
∞
x
n
−
1
e
x
−
1
d
x
=
Γ
(
n
)
ζ
(
n
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{e^{x}-1}}\ dx=\Gamma (n)\zeta (n)}
∫
0
∞
x
e
x
+
1
d
x
=
1
1
2
−
1
2
2
+
1
3
2
−
1
4
2
+
⋯
=
π
2
12
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}+1}}\ dx={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{12}}}
∫
0
∞
sin
m
x
e
2
π
x
−
1
d
x
=
1
4
coth
m
2
−
1
2
m
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin mx}{e^{2\pi x}-1}}\ dx={\frac {1}{4}}\coth {\frac {m}{2}}-{\frac {1}{2m}}}
∫
0
∞
(
1
1
+
x
−
e
−
x
)
d
x
x
=
γ
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }({\frac {1}{1+x}}-e^{-x}){\frac {dx}{x}}=\gamma }
∫
0
∞
e
−
x
2
−
e
−
x
x
d
x
=
γ
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}-e^{-x}}{x}}\ dx={\frac {\gamma }{2}}}
∫
0
∞
(
1
e
x
−
1
−
e
−
x
x
)
d
x
=
γ
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {e^{-x}}{x}})dx=\gamma }
∫
0
∞
e
−
a
x
−
e
−
b
x
x
sec
p
x
d
x
=
1
2
ln
b
2
+
p
2
a
2
+
p
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}-e^{-bx}}{x\sec px}}\ dx={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}+p^{2}}{a^{2}+p^{2}}}}
∫
0
∞
e
−
a
x
−
e
−
b
x
x
csc
p
x
d
x
=
tan
−
1
b
p
−
tan
−
1
a
p
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}-e^{-bx}}{x\csc px}}\ dx=\tan ^{-1}{\frac {b}{p}}-\tan ^{-1}{\frac {a}{p}}}
∫
0
∞
e
−
a
x
(
1
−
cos
x
)
x
2
d
x
=
cot
−
1
a
−
a
2
ln
(
a
2
+
1
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}(1-\cos x)}{x^{2}}}\ dx=\cot ^{-1}a-{\frac {a}{2}}\ln(a^{2}+1)}
மடக்கைச் சார்புகள் கொண்ட வரையறுத்த தொகையீடுகள்
தொகு
தொகையிடப்படும் சார்புகள் மடக்கைச் சார்புகளாக அமையும் வரையறுத்த தொகையீடுகள்:
∫
0
1
x
m
(
ln
x
)
n
d
x
=
(
−
1
)
n
n
!
(
m
+
1
)
n
+
1
m
>
−
1
,
n
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{m}(\ln x)^{n}\,dx={\frac {(-1)^{n}n!}{(m+1)^{n+1}}}\quad m>-1,n=0,1,2,\ldots }
∫
0
1
ln
x
1
+
x
d
x
=
−
π
2
12
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln x}{1+x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{12}}}
∫
0
1
ln
x
1
−
x
d
x
=
−
π
2
6
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln x}{1-x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}}
∫
0
1
ln
(
1
+
x
)
x
d
x
=
π
2
12
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln(1+x)}{x}}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{12}}}
∫
0
1
ln
(
1
−
x
)
x
d
x
=
−
π
2
6
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln(1-x)}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}}
அதிபரவளைவுச் சார்புகள் கொண்ட வரையறுத்த தொகையீடுகள்
தொகு
பிறவகையான வரையறுத்த தொகையீடுகள்
தொகு
∫
0
∞
f
(
a
x
)
−
f
(
b
x
)
x
d
x
=
[
f
(
0
)
−
f
(
∞
)
]
ln
b
a
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\ dx=[{f(0)-f(\infty )}]\ln {\frac {b}{a}}}
∫
−
a
a
(
a
+
x
)
m
−
1
(
a
−
x
)
n
−
1
d
x
=
(
2
a
)
m
+
n
−
1
Γ
(
m
)
Γ
(
n
)
Γ
(
m
+
n
)
{\displaystyle \int _{-a}^{a}(a+x)^{m-1}(a-x)^{n-1}\ dx=(2a)^{m+n-1}{\frac {\Gamma (m)\Gamma (n)}{\Gamma (m+n)}}}