ஹேட்விகர்-பின்சுலெர் சமனிலி

கணிதத்தில், ஹேட்விகர்-பின்சுலெர் சமனிலி (Hadwiger–Finsler inequality) என்பது ஒரு தளத்திலமைந்த முக்கோணம் குறித்த ஒரு வடிவவியல் முடிவாகும்.

முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் a, b, c; பரப்பளவு T எனில்:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4{\sqrt {3}}T\quad {\mbox{(HF)}}.$

தொடர்புள்ள சமனிலிகள்

• ஹேட்விகர்-பின்சுலெர் சமனிலியின் நேரடியான கிளைமுடிவு (வெயிட்சென்பாக்கின் சமனிலி):

முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் a, b, c; பரப்பளவு T எனில்:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}T\quad {\mbox{(W)}}.$

வெயிட்சென்பாக்கின் சமனிலியை ஈரோனின் வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்தி நிறுவலாம். சமபக்க முக்கோணமாக ( a = b = c) "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே," இச்சமனிலியின் (W) சமக்குறிக்கான முடிவு உண்மையாக இருக்கும்.

• நாற்கரத்துக்கான வடிவம்:

ABCD ஒரு குவிவு நாற்கரம்; அதன் பக்க நீளங்கள் a, b, c, d; பரப்பளவு T எனில்:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 4T+{\frac {{\sqrt {3}}-1}{\sqrt {3}}}\sum {(a-b)^{2}}$

இதில், $\sum {(a-b)^{2}}=(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(a-d)^{2}+(b-c)^{2}+(b-d)^{2}+(c-d)^{2}$

நாற்கரம் சதுரமாக இருந்தால் மட்டுமே இதிலுள்ள சமக்குறிக்கான முடிவு உண்மையாக இருக்கும்.

வரலாறு

இச்சமனிலி சுவிட்சர்லாந்தின் கணிதவியலாளர்கள் ஹூயூகோ ஹேட்விகர், பால் பின்சுலெர் ஆகியோரின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. அவர்கள் இருவரும் இதனை பின்சுலெர்-ஹேட்விகர் தேற்றத்துடன் சேர்த்து 1937 இல் வெளியிட்டனர். பின்சுலெர்-ஹேட்விகர் தேற்றம் இரு சதுரங்களுடன் ஒரு உச்சியைப் பகிரும் மற்றொரு சதுரத்தை தருவித்தல் பற்றியதாகும்.

மேற்கோள்கள்

• Paul Finsler; Hugo Hadwiger (1937). "Einige Relationen im Dreieck". Commentarii Mathematici Helvetici 10 (1): 316–326. doi:10.1007/BF01214300. 
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780883853429, pp. 84-86

வெளியிணைப்புகள்

• Proof of Hadwiger-Finsler inequality at PlanetMath.
• Weizenbock's inequality at PlanetMath.