அக்கீலியசு எண்

அக்கீலியசு எண் (Achilles number) என்பது ஒரு ஆற்றல்மிகு எண்ணாக, ஆனால் நிறைவெண்ணாக இல்லாததொரு எண்ணாகும். n என்ற நேர்ம முழுஎண் ஆற்றல்மிகு எண் எனில், அதனை வகுக்கும் ஒவ்வொரு பகாஎண் p க்கும், p²ம் n ஐ வகுக்கும். அதாவது ஒரு ஆற்றல்மிகு எண்ணில் அதன் ஒவ்வொரு பகா காரணியும் குறைந்தபட்சம் வர்க்கக்காரணியாக இருக்கும். ஒவ்வொரு அக்கீலியசு எண்ணும் ஒரு ஆற்றல்மிகு எண்ணாக இருக்கும்; ஆனால் ஒவ்வொரு ஆற்றல்மிகு எண்ணும் அக்கீலியசு எண்ணாக இருக்காது: m^k, (m, k இரண்டும் '1' ஐ விடப் பெரிய நேர்ம முழுவெண்கள்) என்ற வடிவில் எழுதமுடியாதவை மட்டுமே அவ்வாறமைய முடியும்.

72 என்பது ஆற்றல்மிகு எண் என்பதை குசைனரின் கோல்களைக் கொண்டு விளக்கும் படம்

என்றி போத்தோம்லேய் என்ற கணிதவியலாளர், இவ்வெண்களுக்கு திரோஜன் சண்டையின் பெருநாயகனான ஆற்றல்மிக்க, ஆனால் குறையுள்ள அக்கீலியசின் பெயரை இவ்வெண்களுக்கு வைத்தார். அக்கீலியசு எண்களில் ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்புகளும் அக்கீலியசு எண்களாக இருப்பவை "வலுமிகு அக்கீலியசு எண்கள்" (Strong Achilles numbers) எனப்படும். அத்தகைய எண்களில் மிகச்சிறியவை: 500, 864.

அக்கீலியசு எண்களின் தொடர்வரிசை

min(a₁, a₂, …, a_k) ≥ 2 எனில், n = p₁^a₁p₂^a₂…p_k^a_k என்பது ஆற்றல்மிகு எண்களாகும். இதனோடு gcd(a₁, a₂, …, a_k) = 1 ஆகவும் இருந்தால் n ஒரு அக்கீலியசின் எண்ணாகவும் இருக்கும்.

5000 வரையிலான அக்கீலியசு எண்கள்:

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000, 2312, 2592, 2700, 2888, 3087, 3200, 3267, 3456, 3528, 3872, 3888, 4000, 4232, 4500, 4563, 4608, 5000 (OEIS-இல் வரிசை A052486)

.

அடுத்தடுத்த எண்களாகமையும் அக்கீலியசு எண்களின் சோடிகள்:

5425069447 = 7³ × 41² × 97²

5425069448 = 2³ × 26041²

எடுத்துக்காட்டுகள்

• 108 ஒரு அக்கீலியசு எண்.

விளக்கம்:

இதன் பகாஎண் காரணியாக்கம்: 2² · 3³

இதன் பகாகாரணிகள்: 2, 3.

2² = 4, 3² = 9 இரண்டும் 108 இன் வகுஎண்கள். எனவே 108 ஒரு ஆற்றல்மிகு எண்.

மேலும் 108 ஐ m^k, (m, k இரண்டும் '1' ஐ விடப்பெரிய நேர்ம எண்கள்) என்ற வடிவில் எழுத இயலாது.

எனவே 108, ஆனது ஆற்றல்மிகு எண்ணாகவும் அக்கீலியசு எண்ணாகவும் உள்ளது.

• 360 ஒரு அக்கீலியசு எண்ணல்ல.

விளக்கம்:

360 இன் ஒரு வகுஎண் 5. மேலும், 5² = 25 உம் 360 இன் அதன் வகு எண்ணில்லை. எனவே 360 ஆற்றல்மிகு எண்ணில்லை.

எனவே 360 ஆற்றல்மிகு எண்ணாக இல்லாததால், அக்கீலியசு எண்ணுமில்லை.

• 784 அக்கீலியசு எண்ணல்ல.

விளக்கம்:

2, 7 ஆகிய இரண்டும் 784 இன் பகாக் காரணிகள்; அத்தோடு 2² = 4, 7² = 49 இரண்டுமே அதன் காரணிகளாகும். எனவே 784 ஒரு ஆற்றல்மிகு எண்.

ஆனால் 784 ஐ,

$784=2^{4}\cdot 7^{2}=(2^{2})^{2}\cdot 7^{2}=(2^{2}\cdot 7)^{2}=28^{2}.\,$ என்ற வடிவிலும் எழுதமுடிகிறது. எனவே அது அக்கீலியசு எண்ணாக இருக்க முடியாது.

• 500 என்பது ஒரு வலுமிகு அக்கீலியசு எண்ணாகும்.

விளக்கம்:

500 = 2² × 5³ = 5⁵; இது ஒரு அக்கீலியசு எண்.

மேலும் அதன் ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பலன் 200 = 2³ × 5² என்பதும் ஒரு அக்கீலியசின் எண்ணாகவுள்ளதால், 500, ஒரு வலுமிகு அக்கீலியசு எண்ணாகும்.