எல்லாச் சராசரிகளையும் போல பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியும் சமச்ச்சீர்தன்மை உடையது. b ஒரு நேர்ம மெய்யெண் என்க.
M
p
(
b
x
1
,
…
,
b
x
n
)
{\displaystyle M_{p}(bx_{1},\dots ,bx_{n})}
b
M
p
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle bM_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}
M
p
(
x
1
,
…
,
x
n
⋅
k
)
=
M
p
(
M
p
(
x
1
,
…
,
x
k
)
,
M
p
(
x
k
+
1
,
…
,
x
2
⋅
k
)
,
…
,
M
p
(
x
(
n
−
1
)
⋅
k
+
1
,
…
,
x
n
⋅
k
)
)
{\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{p}(M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k}))}
p < q எனில்,
M
p
(
x
1
,
…
,
x
n
)
≤
M
q
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})}
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}
M
p
{\displaystyle M_{p}}
M
q
{\displaystyle M_{q}}
p -ன் பூச்சிய மதிப்பு, பூச்சியமற்ற மெய்யெண் மதிப்பு, நேர்ம மற்றும் எதிர்ம முடிவிலி மதிப்புகளுக்கு இச்சமனின்மை உண்மையாகும்,
குறிப்பாக
p
∈
{
−
1
,
0
,
1
}
{\displaystyle p\in \{-1,0,1\}}
எடையிடப்பட்ட பொதுமைச் சராசரியின் சமனின்மைமையை நிறுவ,
w
i
∈
(
0
;
1
]
{\displaystyle w_{i}\in (0;1]}
∑
i
=
1
n
w
i
=
1
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}=1}
எடையிடப்படாத பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியின் சமனின்மையை நிறுவ
w
i
=
1
n
{\displaystyle w_{i}={\frac {1}{n}}}
தொகு
p மற்றும் q எனும் இரு அடுக்குகளுக்கு அடுக்குச் சராசரிகள் பின்வரும் சமனின்மையைக் கொண்டிருந்தால்:
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
p
≤
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
q
q
{\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}
இதிலிருந்து
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
p
≤
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
q
q
{\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}}}}
இருபுறமும் அடுக்கினை −1 க்கு உயர்த்த (நேர்ம மெய் குறையும் சார்பு):
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
−
p
−
p
=
1
∑
i
=
1
n
w
i
1
x
i
p
p
≥
1
∑
i
=
1
n
w
i
1
x
i
q
q
=
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
−
q
−
q
{\displaystyle {\sqrt[{-p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}}}={\sqrt[{p}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}}\geq {\sqrt[{q}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}}={\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}}
எனவே அடுக்குகள், −p மற்றும் −q -க்கான அடுக்குச் சராசரிகளிக்கான சமனின்மை கிடைக்கிறது. இதிலிருந்து முன்பு செய்த இதே செயல்முறைகளை எதிர்வரிசையில் செய்து சமனின்மைகளின் சமானத்தன்மையை நிறுவலாம்.
தொகு
q அடுக்கு கொண்ட அடுக்குச் சராசரிக்கும் பெருக்கல் சராசரிக்குமிடையே அமையும் சமனின்மை:
∏
i
=
1
n
x
i
w
i
≤
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
q
q
{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}
q -நேர்மம்).
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
q
q
≤
∏
i
=
1
n
x
i
w
i
{\displaystyle {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}}
q -எதிர்மம்).இருபுறமும் அடுக்கு q -க்கு உயர்த்த:
∏
i
=
1
n
x
i
w
i
⋅
q
≤
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
q
{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}\cdot q}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
q
≤
∏
i
=
1
n
x
i
w
i
⋅
q
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}\cdot q}}
இவ்விரண்டும்
x
i
q
{\displaystyle x_{i}^{q}}
மடக்கைச் சார்புகள் குழிவானவை என்பதால்:
∑
i
=
1
n
w
i
log
(
x
i
)
≤
log
(
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})\leq \log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\right)}
log
(
∏
i
=
1
n
x
i
w
i
)
≤
log
(
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
)
{\displaystyle \log \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)\leq \log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\right)}
இருபுறமும் அடுக்குக்குறிச் சார்புக்கு மாற்ற:
∏
i
=
1
n
x
i
w
i
≤
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}
எனவே எந்தவொரு நேர்ம q - மதிப்பிற்கும்:
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
−
q
−
q
≤
∏
i
=
1
n
x
i
w
i
≤
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
q
q
{\displaystyle {\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}
எனவே பெருக்கல் சராசரிக்கும் அடுக்குச் சராசரிக்குமிடையேயான சமனின்மை நிறுவப்படுகிறது.
தொகு
p < q - அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் பின்வரும் சமனின்மை உண்மை என நிறுவ வேண்டும்:
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
p
≤
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
q
q
{\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}
p எதிர்மம், q நேர்மமாக இருந்தால் இச்சமனின்மை ஏற்கனவே நிறுவப்பட்ட பின்வரும் சமனின்மைக்குச் சமானமானதாகும்:
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
p
≤
∏
i
=
1
n
x
i
w
i
≤
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
q
q
{\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}
p , q இரண்டும் நேர்மமாக இருக்கும்போது நிறுவல் பின்வருமாறு:
சார்பு f -ஐ பின்வருமாறு வரையறுத்துக் கொள்ளலாம்:
f
:
R
+
→
R
+
,
{\displaystyle f:{\mathbb {R} _{+}}\rightarrow {\mathbb {R} _{+}},}
f
(
x
)
=
x
q
p
{\displaystyle f(x)=x^{\frac {q}{p}}}
f அடுக்குச் சார்பானதால் அதற்கு இரண்டாம் வகைக்கெழு உண்டு:
f
″
(
x
)
=
(
q
p
)
(
q
p
−
1
)
x
q
p
−
2
,
{\displaystyle f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2},}
f -ன் ஆட்களத்தில் இவ்வகையீட்டின் மதிப்பு எப்பொழுதும் நேர்மமாகவே இருக்கும். மேலும் q > p என்பதால் f குவிச் சார்பாக இருக்கும்.
எனவே ஜென்சன் சமனின்மையின்படி:
f
(
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
)
≤
∑
i
=
1
n
w
i
f
(
x
i
p
)
{\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})}
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
q
p
≤
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
q
{\displaystyle {\sqrt[{\frac {q}{p}}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}
இருபுறமும் 1/q அடுக்குக்கு உயர்த்த:
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
p
≤
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
q
q
{\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}
முன்பு நிறுவிய அடுக்குச் சராசரிகளின் சமானத்தன்மையைப் பயன்படுத்தி, p , q -க்குப் பதிலாக முறையே −q and −p , பிரதியிட்டு இச்சமனின்மையை p , q இரண்டும் எதிர்மமாக இருக்கும்போதும் உண்மை என்பதை நிறுவலாம்.
தொகு
அடுக்குச் சராசரியில் அடுக்கின் மதிப்பு பூச்சியத்தை நோக்கி நெருங்கும் எல்லை மதிப்பாக பெருக்கல் சராசரியைக் கொள்ளலாம்.
lim
p
→
0
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
p
=
∏
i
=
1
n
x
i
w
i
{\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{p\to 0}{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\end{aligned}}}
இதை நிறுவுவதற்குத் தேவையான, பின்வரும் எல்லை மதிப்பை முதலில் நிறுவலாம்:
lim
p
→
0
log
(
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
)
p
=
∑
i
=
1
n
w
i
log
(
x
i
)
{\displaystyle \lim _{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})}
இவ்வெல்லையின் பகுதி மற்றும் தொகுதிகளின் எல்லை மதிப்புகள் பூச்சியமாக இருப்பதால் லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்த:
lim
p
→
0
log
(
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
)
p
=
lim
p
→
0
1
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
⋅
(
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
)
′
=
{\displaystyle \lim _{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}=\lim _{p\to 0}{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)'=}
=
1
∑
i
=
1
n
w
i
⋅
lim
p
→
0
∑
i
=
1
n
(
w
i
⋅
log
(
x
i
)
⋅
x
i
p
)
=
∑
i
=
1
n
w
i
log
(
x
i
)
{\displaystyle ={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\cdot \lim _{p\to 0}\sum _{i=1}^{n}(w_{i}\cdot \log(x_{i})\cdot x_{i}^{p})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})}
அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித் தன்மையின்படி:
lim
p
→
0
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
p
=
lim
p
→
0
exp
(
log
(
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
)
p
)
=
exp
(
lim
p
→
0
log
(
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
)
p
)
=
exp
(
∑
i
=
1
n
w
i
log
(
x
i
)
)
=
∏
i
=
1
n
x
i
w
i
{\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{p\to 0}{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\lim _{p\to 0}\exp \left({\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}\right)\\&=\exp \left(\lim _{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}\right)=\exp \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})\right)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\end{aligned}}}
என்வே பெருக்கல் சராசரியானது அடுக்குச் சராசரியின் அடுக்கு பூச்சியத்தை நெருங்கும் எல்லை மதிப்பு என்பது நிறுவப்பட்டது.
தொகு
அடுக்குச் சராசரியின் அடுக்கின் மதிப்பு,
−
∞
{\displaystyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
அனைத்து xi -களில் பெரும மதிப்பு - x 1 , சிறும மதிப்பு - xn என்க.
பின்வரும் எல்லை மதிப்பை முதலில் நிறுவிக் கொள்ளலாம்:
lim
p
→
∞
(
1
p
ln
(
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
x
1
p
)
)
=
0
{\displaystyle \lim _{p\to \infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\right)=0}
p நேர்மம் எனில்:
1
p
ln
(
w
1
)
=
1
p
ln
(
w
1
x
1
p
x
1
p
)
≤
1
p
ln
(
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
x
1
p
)
≤
1
p
ln
(
∑
i
=
1
n
w
i
x
1
p
x
1
p
)
=
ln
(
1
)
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{p}}\ln(w_{1})={\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {w_{1}x_{1}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\leq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\leq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{1}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)=\ln(1)=0}
இந்த எல்லை மதிப்பைப் பயன்படுத்த:
lim
p
→
∞
1
p
ln
(
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
)
=
lim
p
→
∞
1
p
ln
(
x
1
p
⋅
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
x
1
p
)
=
lim
p
→
∞
(
ln
(
x
1
p
)
p
)
+
lim
p
→
∞
(
1
p
ln
(
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
x
1
p
)
)
=
ln
(
x
1
)
+
0
=
ln
(
x
1
)
{\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)=\lim _{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(x_{1}^{p}\cdot {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)=\lim _{p\to \infty }\left({\frac {\ln(x_{1}^{p})}{p}}\right)+\lim _{p\to \infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\right)=\ln(x_{1})+0=\ln(x_{1})}
இறுதியாக அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:
lim
p
→
∞
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
p
=
lim
p
→
∞
exp
(
1
p
ln
(
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
)
)
=
exp
(
lim
p
→
∞
1
p
ln
(
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
)
)
=
x
1
{\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\lim _{p\to \infty }\exp \left({\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\right)=\exp \left(\lim _{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\right)=x_{1}}
p எதிர்மம் என்க:
lim
p
→
−
∞
(
1
p
ln
(
∑
i
=
1
n
w
i
x
n
p
x
n
p
)
)
=
0
{\displaystyle \lim _{p\to -\infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{n}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\right)=0}
p < 0 எனில்:
1
p
ln
(
w
n
)
=
1
p
ln
(
w
n
x
n
p
x
n
p
)
≥
1
p
ln
(
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
x
n
p
)
≥
1
p
ln
(
∑
i
=
1
n
w
i
x
n
p
x
n
p
)
=
ln
(
1
)
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{p}}\ln(w_{n})={\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {w_{n}x_{n}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\geq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\geq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{n}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)=\ln(1)=0}
எனவே:
lim
p
→
−
∞
1
p
ln
(
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
)
=
lim
p
→
−
∞
(
ln
(
x
n
p
)
p
)
+
lim
p
→
−
∞
(
1
p
ln
(
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
x
n
p
)
)
=
ln
(
x
n
)
{\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)=\lim _{p\to -\infty }\left({\frac {\ln(x_{n}^{p})}{p}}\right)+\lim _{p\to -\infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\right)=\ln(x_{n})}
மீண்டும் அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:
lim
p
→
−
∞
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
p
=
exp
(
lim
p
→
−
∞
1
p
ln
(
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
p
)
)
=
x
n
{\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\exp \left(\lim _{p\to -\infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\right)=x_{n}}
![{\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c389840696d51db570f6af4e5443feb30ff1a4a)
![{\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{w}]{\prod _{j=1}^{n}x_{j}^{w_{j}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/106436b7bfad259db73da93a2a605b7c64b9eed2)
![{\displaystyle \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a4c3bee95b733e1cc50bd409473a78a21b5744)
![{\displaystyle w_{i}\in (0;1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263ed1a6035930fc427e00312fc423289a653e3f)
![{\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3ce95d6e1a98945428e8b5c909c573266d2a32b)
![{\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07cf329ab43ee20c78aaff46b8a1e5594a3ba8e9)
![{\displaystyle {\sqrt[{-p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}}}={\sqrt[{p}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}}\geq {\sqrt[{q}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}}={\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5418e89a0d3dfad4d7bb0c3cb3aa6453d35f0bca)
![{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f6a04f3b51fd83ce64673994763922b5b8360df)
![{\displaystyle {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3c11222fbf8ad19bf70a843c342325cd1de019c)
![{\displaystyle {\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84a7ddf0a8e909f8e6fec4a7a31fac51c2a5a8df)
![{\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be2a13b76294cdf6c4207225fde1ce92cf7d8a58)
![{\displaystyle {\sqrt[{\frac {q}{p}}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/357c9d089d02388b0a1403b126355277d1d3e54a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{p\to 0}{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a008d62699832a3f4521b1c97cd2a812e2ae465b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{p\to 0}{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\lim _{p\to 0}\exp \left({\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}\right)\\&=\exp \left(\lim _{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}\right)=\exp \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})\right)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b09eb6e0e03395f3108fadbb02c3253ee7aa4c19)
![{\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\lim _{p\to \infty }\exp \left({\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\right)=\exp \left(\lim _{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\right)=x_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7b13b4baa39ead33a62ff2333a5607f22680c91)
![{\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\exp \left(\lim _{p\to -\infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\right)=x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bec4ddc85e62fb0e0f46d98abb8801941596d052)
