அணி ஒப்புமை

நேரியல் இயற்கணிதத்தில், A, B ஆகிய இரு nxn அணிகள் ஒத்தவை (similar) எனில், பின்வரும் கட்டுப்பாட்டை நிறைவு செய்யும் ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க அணி nxn அணி P காண முடியும்:

$$B=P^{-1}AP.$$

இரு வெவ்வேறு அடுக்கலங்களிலமைந்த ஒரே நேரியல் கோப்பை ஒத்த அணிகள் குறிக்கும்; P ஆனது அடுக்களம் மாற்ற அணியாக இருக்கும்.

A ↦ P⁻¹AP என்ற உருமாற்றமானது A அணியின் ஒத்த உருமாற்றம் அல்லது இணைவு (similarity transformation, conjugation) எனப்படும்.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு

நேரியல் உருமாற்றங்களை வரையறுக்கும்போது, அடுக்கள மாற்றத்தால் ஒரு உருமாற்றைத்தை எளிதாக்கலாம் என்பதை அறியலாம். எடுத்துக்காட்டாக, R³ இல் வரையறுக்கப்பட்ட சுழற்சியில் சுழல் அச்சானது ஆய அச்சுகளில் ஒன்றாக இல்லாவிட்டால், சுழற்சி அணியைக் காண்பது எளிதாக இருக்காது. சுழல் அச்சை z-அச்சோடு பொருத்தினால் சுழற்சி அணி பின்வருமாறு அமையும்:

$$S={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}},$$

$\theta$ - சுழற்கோணம்.

புது ஆய அச்சுகளில் சுழற்சி உருமாற்றம் பின்வருமாறு எழுதப்படும்:

$$y'=Sx',$$

இதில் x', y' இரண்டும் முறையே மூல மற்றும் உருமாற்றப்பட்ட திசையன்கள்.

பழைய அடுக்களத்தில் உருமாற்றம் பின்வருமாறு எழுதப்படும்:

$$y=Tx,$$

இதில் x, y மற்றும் உருமாற்ற அணி T மூன்றும் பழைய அடுக்களத்தில் உள்ளன. T அணியை எளியவடிவுக்கு மாற்றுவதற்கு அடுக்கள மாற்ற அணி P பயன்படுத்தப்படுகிறது. P அணியானது x, y இரண்டையும் முறையே $x'=Px,$ $y'=Py$ ஆக மாற்றுகிறது:

$${\begin{aligned}&&y'&=Sx'\\[1.6ex]&\Rightarrow &Py&=SPx\\[1.6ex]&\Rightarrow &y&=\left(P^{-1}SP\right)x=Tx\end{aligned}}$$

$T=P^{-1}SP$.

மூல அடுக்கள உருமாற்றமானது எளிதாகக் காணக்கூடிய மூன்று அணிகளின் பெருக்கற்பலனாக உள்ளது. மூன்று எளிய நிலைகளில் செய்யப்படுகிறது:

• புது அடுக்களத்துக்கு மாற்றல் (P)
• எளிதாக்கப்பட்ட உருமாற்றம் செய்தல் (S)
• மீண்டும் பழைய அடுக்களத்துக்கு மாற்றல் (P⁻¹).

குறிப்புகள்