அதிபரவளையச் சார்பு

கணிதத்தில் அதிபரவளைவுச் சார்புகள் அல்லது அதிபரவளையச் சார்புகள் (hyperbolic functions) என்பன வட்டச் சார்புகள் என அழைக்கப்படும் முக்கோணவியல் சார்புகளுடன் ஒத்த சார்புகள் ஆகும்.

அலகு அதிபரவளையம் $\scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1$ இன் மையத்தின் வழியே செல்லும் கதிர், அதிபரவளையத்தை சந்திக்கும் புள்ளி $\scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a).$ இதில் $\scriptstyle a$ இன் மதிப்பு கதிர், அதிபரவளையம், $\scriptstyle x$-அச்சு இவற்றுக்கு இடைப்பட்ட பரப்பின் இருமடங்கு ஆகும்.

அடிப்படை அதிபரவளையச் சார்புகள்:

• அதிபரவளைவு சைன்: "sinh"
• அதிபரவளைவு கொசைன்: "cosh"
• அதிபரவளைவு டேன்ஜெண்ட்: "tanh"
• அதிபரவளைவு கொசீக்கெண்ட்: "csch" அல்லது "cosech"
• அதிபரவளைவு சீக்கெண்ட்: "sech"
• அதிபரவளைவு கோடேன்ஜெண்ட்: "coth"

ஒவ்வொரு அதிபரவளையச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பினைக் குறிப்பதற்கு அச்சார்போடு area hyperbolic (அ) "ar" (அ) "a" (அ) "arc" என்ற முன்னொட்டுகளைச் சேர்த்து எழுதப்படுகிறது. (cos t, sin t) என்ற புள்ளிகள் அலகு வட்டத்தை உருவாக்குவது போல, புள்ளிகள் (cosh t, sinh t), சமபக்க அதிபரவளைவின் வலப்பாதிப் பகுதியை உருவாக்குகின்றன.

அதிபரவளையச் சார்புகள், வின்சென்சோ ரிக்கட்டி மற்றும் ஜோகன் கெயின்ரிச் லாம்பெர்டு எனும் இரு கணிதவியலாளர்களால் தனித்தனியே 1760 களில் கண்டறியப்பட்டது. ரிக்கட்டி, வட்டச் சார்புகளைக் குறிப்பதற்கு Sc. மற்றும் Cc. ([co]sinus circulare) குறியீடுகளையும், அதிபரவளையச் சார்புகளுக்கு Sh. மற்றும் Ch. ([co]sinus hyperbolico) ம் பயன்படுத்தினார். லாம்பெர்டு அதே பெயர்களை அப்படியே எடுத்துக் கொண்டு குறியீடுகளை மட்டும் தற்போது பயன்படுத்தப்படும் குறியீடுகளுக்கு மாற்றினார். சுருக்கக் குறியீடுகள் sh , ch இன்றளவும் பிரெஞ்சு, உருசியா போன்ற சில மொழிகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறன.

திட்ட இயற்கணித வடிவம்

அதிபரவளையச் சார்பு:

• அதிபரவளைய சைன் (Hyperbolic sine):

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}$

• அதிபரவளைய கொசைன் (Hyperbolic cosine):

$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}$

• அதிபரவளைய டேன்ஜெண்ட் (Hyperbolic tangent):

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}={\frac {1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}$

• அதிபரவளைய கோடேன்ஜெண்ட் (Hyperbolic cotangent):

$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}={\frac {1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}}$

• அதிபரவளைய சீக்கெண்ட் (Hyperbolic secant):

$\operatorname {sech} \,x=\left(\cosh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}={\frac {2e^{-x}}{1+e^{-2x}}}$

• அதிபரவளைய கொசீக்கெண்ட் (Hyperbolic cosecant):

$\operatorname {csch} \,x=\left(\sinh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}={\frac {2e^{-x}}{1-e^{-2x}}}$

கற்பனை வட்டக் கோணங்கள் மூலமாகவும் அதிபரவளையச் சார்புகளை எழுதலாம்:

• அதிபரவளைய சைன்:

$\sinh x=-{\rm {i}}\sin {\rm {i}}x\!$

• அதிபரவளைய கொசைன்:

$\cosh x=\cos {\rm {i}}x\!$

• அதிபரவளைய டேன்ஜெண்ட்:

$\tanh x=-{\rm {i}}\tan {\rm {i}}x\!$

• அதிபரவளைய கோடேன்ஜெண்ட்:

$\coth x={\rm {i}}\cot {\rm {i}}x\!$

• அதிபரவளைய சீக்கெண்ட்:

$\operatorname {sech} \,x=\sec {{\rm {i}}x}\!$

• அதிபரவளைய கொசீக்கெண்ட்:

$\operatorname {csch} \,x={\rm {i}}\,\csc \,{\rm {i}}x\!$

இங்கு i என்பது கற்பனை அலகு; i² = −1.

பயனுள்ள தொடர்புகள்

• ஒற்றை மற்றும் இரட்டைச் சார்புகள்:

${\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end{aligned}}$

எனவே:

${\begin{aligned}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}$

cosh x மற்றும் sech x இரண்டும் இரட்டைச் சார்புகளாகவும் மற்ற அதிபரவளையச் சார்புகள் ஒற்றைச் சார்புகளாகவும் இருப்பதைக் காணலாம்.

• நேர்மாறுச் சார்புகள்

${\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}\end{aligned}}$

• அதிபரவளைய சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகள் இரண்டும் பின்வரும் முற்றொருமையை நிறைவு செய்கின்றன:

$\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\,$

இம்முற்றொருமை பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமையை ஒத்துள்ளது.

மேலும் பிற சார்புகளுக்கு:

${\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\end{aligned}}$

${\frac {1}{2}}f''=f^{3}-f;\quad f(0)=f'(\infty )=0$ இன் தீர்வாக tanh அமைகிறது.

• cosh (x) இன் கீழமையும் பரப்பு கீழ்க்கண்டவாறு வில்லின் நீளத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்:

${\text{area}}=\int _{a}^{b}{\cosh {(x)}}\ dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh {(x)}\right)^{2}}}\ dx={\text{வில்லின் நீளம்}}$

• கோணங்களின் கூட்டல்:

${\begin{aligned}\cosh(x+y)&=\sinh x\sinh y+\cosh x\cosh y\\\sinh(x+y)&=\cosh x\sinh y+\sinh x\cosh y\end{aligned}}$

குறிப்பாக,

${\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\end{aligned}}$

• cosh மற்றும் sinh இன் கூடுதலும் வித்தியாசமும்:

${\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\end{aligned}}$

மடக்கைகளாக-நேர்மாறுச் சார்புகள்

${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right);\left|x\right|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right);0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right);x\neq 0\end{aligned}}$

வகைக்கெழுக்கள்

${\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x\,$

${\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x\,$

${\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x=1/\cosh ^{2}x\,$

${\frac {d}{dx}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-1/\sinh ^{2}x\,$

${\frac {d}{dx}}\ \operatorname {csch} \,x=-\coth x\ \operatorname {csch} \,x\,$

${\frac {d}{dx}}\ \operatorname {sech} \,x=-\tanh x\ \operatorname {sech} \,x\,$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {artanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsech} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}$

தொகையீடுகள்

அனைத்து அதிபரவளையச் சார்புகளின் தொகையீடுகளுக்கு அதிபரவளைவுச் சார்புகளின் தொகையீடுகளின் பட்டியல் பார்க்கவும்.

${\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left(\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right)+C\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}&=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}&=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}&=a^{-1}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}&=a^{-1}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}\\\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}&=-a^{-1}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}&=-a^{-1}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}$

இவற்றில் C -தொகையீட்டு மாறிலி.

டெய்லர் தொடர்கள்

அதிபரவளையச் சார்புகளை டெய்லர் தொடர்களாக எழுத முடியும்:

$\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

$\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$

sinh மற்றும் cosh தொடர்களின் கூடுதல், படிக்குறிச் சார்பின் டெய்லர் தொடராக (முடிவிலாத் தொடராக) இருக்கும்.

${\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi \\\operatorname {sech} \,x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} \,x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}$

இங்கு,

$B_{n},\,$ n ஆவது பெர்னொலி எண் (Bernoulli number)

$E_{n},\,$ n ஆவது ஆய்லர் எண் (Euler number)

வட்டச் சார்புகளுடன் ஒப்பீடு

வட்டம்:$x^{2}+y^{2}=2$ வட்டமும் $xy=1$ அதிபரவளையமும் (1,1) புள்ளியில் தொடுகின்றன.

வட்டச் சார்புகளையும் தாண்டிய முக்கோணவியலின் நீட்டிப்பாக அதிபரவளையச் சார்புகள் அமைகின்றன. இருவகையான சார்புகளுமே முறையே, வட்டக் கோணம் மற்றும் அதிபரவளையக் கோணத்தைச் சார்ந்திருக்கின்றன. வட்டத்தின் ஆரம் r = √2 இன் வர்க்கமூலமாக இருக்கும் போது, வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவு ${\frac {r^{2}u}{2}}=u.$. இத்தகைய வட்டம் (r = √2) அதிபரவளையம் x y = 1 ஐ (1,1) புள்ளியில் தொடுகிறது.(படத்தில் காண்க.) மஞ்சள் பகுதி வட்டக் கோணப்பகுதியின் கோணம் மற்றும் பரப்பையும் தருகிறது. சிவப்புப் பகுதி அதிபரவளையப் பகுதியின் கோணத்தையும் பரப்பையும் தருகிறது.

u கோணத்தை வரையறுக்கும் கதிரை, செம்பக்கமாகக் கொண்ட இரு செங்கோண முக்கோணங்களின் தாங்கு பக்கங்கள் முறையே, வட்டச் சார்புகள் மற்றும் அதிபரவளையச் சார்புகளின் √2 மடங்குகளாக, அதாவது √2cosu, √2sinu மற்றும் (√2coshu, √2sinhu) என உள்ளன. (படத்தில் காண்க)

முற்றொருமைகள்

முக்கோணவியல் சார்புகளின் முற்றொருமைக்களுக்கு ஒத்த பல முற்றொருமைகளை அதிபரவளையச் சார்புகள் நிறைவு செய்கின்றன:

• ${\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)\\\cosh(x+y)&=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)\\\tanh(x+y)&={\frac {\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\tanh(y)}}\end{aligned}}$

• ${\begin{aligned}\sinh 2x&=2\sinh x\cosh x\\\cosh 2x&=\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cosh ^{2}x-1=2\sinh ^{2}x+1\\\tanh 2x&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\end{aligned}}$

• அரைக்கோண முற்றொருமைகள்:

$\sinh {\frac {x}{2}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh x-1)}}\,$ :$\cosh {\frac {x}{2}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh x+1)}}\,$

$\tanh {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x.$

சிக்கலெண்களுக்கு அதிபரவளையச் சார்புகள்

ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு:

${\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\;\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\;\sin x\end{aligned}}$

எனவே:

${\begin{aligned}\cosh ix&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh ix&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh ix&=i\tan x\\\cosh x&=\cos ix\\\sinh x&=-i\sin ix\\\tanh x&=-i\tan ix\end{aligned}}$

அதிபரவளையச்ச் சார்புகள், காலமுறையளவு $2\pi i$ ($\pi i$ -அதிபரவளைய டேன்ஜெண்ட் மற்றும் கோடேன்ஜெண்ட் சார்புகளுக்கு) கொண்ட காலமுறைச் சார்புகளாக உள்ளன. .

சிக்கலெண் தளத்தில் அதிபரவளயச் சார்புகள்

$\operatorname {sinh} (z)$	$\operatorname {cosh} (z)$	$\operatorname {tanh} (z)$	$\operatorname {coth} (z)$	$\operatorname {sech} (z)$	$\operatorname {csch} (z)$

வரைபடங்கள்

sinh, cosh, tanh

csch, sech, coth

e^x மற்றும் e^−x இன் சராசரி cosh(x).

e^x மற்றும் e^−x இரண்டின் வித்தியாசத்தில் பாதி sinh(x).