கற்பனை அலகு

கற்பனை அலகு அல்லது அலகு கற்பனை எண் (imaginary unit, unit imaginary number) என்றழைக்கப்படும் $i$ ஆனது, மெய்யெண்களை (ℝ) சிக்கலெண்களுக்கு (ℂ) நீட்டிக்கும் ஒரு கணிதக் கருத்துரு ஆகும். இவ்வாறு மெய்யெண்கள் சிக்கலெண்களுக்கு நீட்டிக்கப்படுவதால் ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும் P(x) குறைந்தபட்சம் ஒரு மூலமாவது கிடைக்கிறது.

சிக்கலெண் தலத்தில் i. கிடைமட்ட அச்சில் (மெய் அச்சு) மெய்யெண்களும் கற்பனை எண்கள் குத்து அச்சில் (கற்பனை அச்சு) அமைகின்றன.

i இன் முக்கியப் பண்பு:

i² = −1

வர்க்கத்தை எதிரெண்ணாகக் கொண்ட மெய்யெண்களே இல்லை என்பதால் i ஒரு கற்பனை எண்ணாகக் கொள்ளப்படுகிறது. கற்பனை அலகைக் குறிப்பதற்கு, சில இடங்களில் i என்ற குறியீட்டுக்குப் பதிலாக j அல்லது கிரேக்க எழுத்தான ι பயன்படுத்தப்படுகின்றது.

வரையறை

i இன் அடுக்குகள் மீண்டும் சுழலும் மதிப்புகள்:
... (நீலப் பகுதியையடுத்து, மதிப்புகள் மீள்கின்றன)
i−3 = i
i−2 = −1
i−1 = −i
i0 = 1
i1 = i
i2 = −1
i3 = −i
i4 = 1
i5 = i
i6 = −1
... (நீலப் பகுதியை யடுத்து, மதிப்புகள் மீள்கின்றன)

i இன் வரையறையானது, i இன் வர்க்கம் -1 என்ற பண்பை மட்டுமே அடிப்படையாகக் கொண்டுள்ளது:

$i^{2}=-1\ .$

ஆனால் i இன் இந்த வரையறையின் விளைவாக, i, -i என -1 க்கு இரு வர்க்கமூலங்கள் கிடைக்கின்றன.

மெய்யெண்களில் மேற்கொள்ளப்படும் அடிப்படைக் கணிதச் செயல்களை சிக்கலெண்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம். எந்தவொரு கணிதச் செயலையும் சிக்கலெண்களில் மேற்கொள்ளும்போது, iஐ மதிப்புத் தெரியாத கணியமாகப் பாவித்து செயல்களைச் செய்த பின்னர், விளைவில் உள்ள i² இன் மதிப்பை −1 எனப் பதிவிட வேண்டும். மேலும் i இன் அடுக்கு இரண்டைவிட அதிகமாக இருப்பின் அவற்றை −i, 1, i, −1 ஆகியவற்றைக் கொண்டு பதிவிடலாம்:

$i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i\,$

$i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\,$

$i^{5}=i^{4}i=(1)i=i\,$

இதேபோல சுழியற்ற மெய்யெண்களுக்குப் போலவே i க்கும் கீழுள்ளவை உண்மையாகும்:

$i^{0}=i^{1-1}=i^{1}i^{-1}=i^{1}{\frac {1}{i}}=i{\frac {1}{i}}={\frac {i}{i}}=1\,$

சிக்கலெண் i இன் கார்ட்டீசிய வடிவம்:

$i=0+i$ (i இன் மெய்ப்பகுதி சுழியாகவும் கற்பனைப் பகுதி ஒரு அலகாகவும் உள்ளது.)

சிக்கலெண் i இன் போலார் வடிவம்:

i = 1 cis ^π/₂, (i இன் மட்டு மதிப்பு 1 ஆகவும் கோணவீச்சு ^π/₂ ஆகவும் உள்ளது.)

சிக்கலெண் தளத்தில் ஆதியிலிருந்து ஓர் அலகு தொலைவில் கற்பனை அச்சின் மீது அமையும் புள்ளியாக i இருக்கும்.

பண்புகள்

வர்க்க மூலங்கள்

i இன் வர்க்கமூலம்

சிக்கலெண் தளத்தில் i இன் இரு வர்க்கமூலங்கள்

iஇன் வர்க்க மூலத்தை கீழுள்ள இரு சிக்கலெண்களில் ஏதாவது ஒன்றாகக் கொள்ளலாம்

${\sqrt {i}}=\pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).$

வலதுபுறத்தை வர்க்கப்படுத்த:

${\begin{aligned}\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ &=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\ \\&=i.\ \\\end{aligned}}$

இதே முடிவை ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தியும் காணலாம்:

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,$

x = π/2 எனப் பதிலிட,

$e^{i(\pi /2)}=\cos(\pi /2)+i\sin(\pi /2)=0+i1=i\,\!.$

இருபுறமும் வர்க்கமூலம் காண,

${\sqrt {i}}=\pm e^{i(\pi /4)}\,\!,$

ஆய்லர் வாய்ப்பாட்டின்படி,

${\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\pm (\cos(\pi /4)+i\sin(\pi /4))\\&={\frac {1}{\pm {\sqrt {2}}}}+{\frac {i}{\pm {\sqrt {2}}}}\\&={\frac {1+i}{\pm {\sqrt {2}}}}\\&=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).\\\end{aligned}}$

−i இன் வர்க்கமூலம்

i இன் வர்க்கமூலத்தை ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்:

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,$

x = 3π/2 எனப் பதிலிட:

$e^{i(3\pi /2)}=\cos(3\pi /2)+i\sin(3\pi /2)=0-i1=-i\,\!.$

இருபுறமும் வர்க்கமூலம் காண:

${\sqrt {-i}}=\pm e^{i(3\pi /4)}\,\!,$

ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின்படி,

${\begin{aligned}{\sqrt {-i}}&=\pm (\cos(3\pi /4)+i\sin(3\pi /4))\\&=-{\frac {1}{\pm {\sqrt {2}}}}+i{\frac {1}{\pm {\sqrt {2}}}}\\&={\frac {-1+i}{\pm {\sqrt {2}}}}\\&=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(i-1).\\\end{aligned}}$

i இன் வர்க்கமூலத்தை i ஆல் பெருக்க, -i இன் வர்க்கமூலம் கிடைக்கும்:

${\begin{aligned}{\sqrt {-i}}=(i)\cdot (\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+i))\\&=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}(1i+i^{2})\\&=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(i-1)\\\end{aligned}}$

பெருக்கலும் வகுத்தலும்

பெருக்கல்

எந்தவொரு சிக்கலெண்ணையும் i ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது:

$i\,(a+bi)=ai+bi^{2}=-b+ai.$

(இவ் விளைவு, சிக்கலெண் தளத்தில் a + bi சிக்கலெண்ணின் ஆரக்கோலை ஆதியைப் பொறுத்து இடஞ்சுழியாக (எதிர்-கடிகாரத்திசை) 90° சுழற்றுவதற்குச் சமமாக அமையும்)

வகுத்தல்

i ஆல் வகுப்பது, i இன் தலைகீழியால் பெருக்குவதற்குச் சமானமாகும்:

${\frac {1}{i}}={\frac {1}{i}}\cdot {\frac {i}{i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-i.$

இம் முடிவை a + bi சிக்கலெண்ணை i ஆல் வகுப்பதில் பயன்படுத்த:

${\frac {a+bi}{i}}=-i\,(a+bi)=-ai-bi^{2}=b-ai.$

(இவ் விளைவு, சிக்கலெண் தளத்தில் a + bi சிக்கலெண்ணின் ஆரக்கோலை ஆதியைப் பொறுத்து வலஞ்சுழியாக (கடிகாரத்திசை) 90° சுழற்றுவதற்குச் சமமாக அமையும்)

அடுக்குகள்

i இன் அடுக்குகள் கீழுள்ள போக்கில் சுழலும் தன்மை கொண்டுள்ளன (n ஏதேனுமொரு முழு எண்):

$i^{4n}=1\,$

$i^{4n+1}=i\,$

$i^{4n+2}=-1\,$

$i^{4n+3}=-i.\,$

எனவே,

$i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}\,$

$i^{n}=\cos(n\pi /2)+i\sin(n\pi /2)$

i இன் அடுக்கு i

ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின்படி,

$i^{i}=\left(e^{i(\pi /2+2k\pi )}\right)^{i}=e^{i^{2}(\pi /2+2k\pi )}=e^{-(\pi /2+2k\pi )}$ ($k\in \mathbb {Z}$, முழுஎண்களின் கணம்)

இதன் முதன்மை மதிப்பு ( k = 0): :e^−π/2 அல்லது 0.207879576... (தோராயமாக)

தொடர்பெருக்கம்

கற்பனை அலகுi இன் தொடர்பெருக்கம்:

$i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.$

மேலும்,

$|i!|={\sqrt {\pi \over \sinh \pi }}$

மாற்றுக் குறியீடுகள்

• மின் பொறியியலில் மின்னோட்டத்தின் குறியீடு i(t) அல்லது i எனக் குறிக்கப்படுவதால், குழப்பத்தைத் தவிர்க்கும் விதமாக கற்பனை அலகு j எனக் குறிக்கப்படுகிறது.
• பைத்தான் நிரலாக்க மொழியிலும் ஒரு சிக்கலெண்ணின் கற்பனைப் பகுதியைக் குறிப்பதற்கு j பயன்படுத்தப்படுகிறது.
• மேட்லேப் i, j இரண்டுமே கற்பனை அலகைக் குறிக்கப் பயன்படுத்துகிறது
• சுட்டெண்கள், கீழெழுத்துக்களில் இருந்து வேறுபடுத்திக் காட்டும் நோக்கில், சில புத்தகங்களில் கற்பனை அலகைக் குறிக்கக் கிரேக்க எழுத்தான (iota) (ι) பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

மேலும் படிக்க

• Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of √−1. Chichester: Princeton University Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-691-02795-1.

வெளி இணைப்புகள்

• Euler's work on Imaginary Roots of Polynomials at Convergence பரணிடப்பட்டது 2006-02-12 at the வந்தவழி இயந்திரம்