வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமை

கணிதத்தில் வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமை அல்லது வாள்முனை ஆயம் (Polar coordinate system) அல்லது ஒப்புச்சட்ட முறைமை என்பது ஒரு சமதளத்தில் அமைந்துள்ள எப்புள்ளியையும் முறையாகக் குறிப்பிடும் ஒரு முறைமை ஆகும். இம்முறையில் சமதளத்தில் உள்ள எந்தவொரு புள்ளியையும் ஒரு நீளம், ஒரு கோணம் ஆகிய இரண்டு ஆள்கூறுகளால் குறிக்கப்பெறுகின்றது.

இம் முறையில் நிலையான ஒரு தொடக்கப்புள்ளி உண்டு. சமதளத்தில் உள்ள எப்புள்ளியும் இந்தத் தொடக்கப்புள்ளியில் இருந்து எவ்வளவு தொலைவு உள்ளது, என்று கூறும் நீளம் ஓர் ஆள்கூறு. அந்த நீளத்தை உடைய கோலை அல்லது வாளை, கிடை அச்சில் இருந்து இடஞ்சுழியாகச் சுழற்றி சமதளத்தில் உள்ள அப்புள்ளியை முனை தொடுமாறு இருந்தால் என்ன கோணம் உள்ளதோ, அது மற்றொரு ஆள்கூறாகவும் கொண்டு குறிக்கப்பெறும் ஒரு முறை ஆகும்.

தொடக்கப் புள்ளியைக் நீளம் அளக்கும் ஆரகோலின் அல்லது வாளின் அடிப்புள்ளி என்றும் அழைக்கலாம். இத் தொடக்கப் புள்ளி என்பது கார்ட்டீசிய ஆள்கூற்று முறைமையில் உள்ளது போன்றதே ஆகும். ஆனால் கார்ட்டீசியன் முறைமையில் நீளங்களை அச்சுக்கு இணையாகப் போய் அளப்பது போல் அல்லாமல் நேரடியாக, தொடக்கப் புள்ளியில் இருந்து சமதளத்தில் உள்ள புள்ளியை நேர்கோடால் இணைத்தால் கிட்டுவதே நீளம், அல்லது ஆரத் தொலைவு ஆகும். ஆரக்கோலின் கோணத்தை, கார்ட்டீசிய ஆள்கூற்று முறைமையில் உள்ள கிடை அச்சு (x-அச்சு) திசையில் இருந்து இடஞ்சுழியாக (அதாவது மணிகாட்டித் திசைக்கு எதிர்த்திசையில்) நகர்ந்து அளக்கும் கோணம் ஆகும்.

வரலாறு

கோணம், ஆரம் ஆகிய கருத்துருக்களையும் மக்கள் 2500 ஆண்டுகளுக்கும் மேலாக அறிவர். குறிப்பாக கிரேக்க நாட்டு வானியல் அறிஞர் இப்பார்க்கசு (கி.மு 190-120) (Hipparchus) என்பார், வட்டத்தின் ஒவ்வொரு நாணின் நீளத்தையும் அது வட்டத்தின் மையத்தில் தந்த கோணத்தையும் ஓர் அட்டவணையில் பட்டியல் இட்டு இருந்தார். இவருடைய இந்தப் படைப்பில், விண்மீன்களின் இடத்தைக் குறிக்க, வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமை போன்ற குறிப்புகள் இருந்தன^[1]. சுருள்கள் பற்றிய ஒரு நூலில் (ஆன் இசுப்பைரல்சு "On Spirals") ஆர்க்கிமிடீசு இன்று ஆர்க்கிமிடியச் சுருள் என்று கூறப்படும் வடிவத்தை விளக்கும் பொழுது, அதில் உள்ள புள்ளிகள் ஒவ்வொன்றின் நீளமும் எவ்வாறு கோணத்தைப் பொருத்தது என்று அவர் கூறியுள்ள இடத்தில், இந்த ஆள்கூற்று முறைமையை ஒட்டிய சில கருத்துகள் ஆளப்பெற்று இருந்தன, ஆனால் இவ் ஆள்கூற்று முறைமை கிரேக்கக் கணிதவியலில் முழுமை பெறவில்லை.

கி.பி 8 ஆம் நூற்றாண்டுக்குப் பிறகு, வானவியலாளர்கள் மெக்காவுக்கு போகும் திசையையும், தோராயத் தொலைவையும் புவியில் எங்கிருந்தும் கணக்கிடும் முறைகளை வளர்த்தெடுத்தனர்^[2]. ஒன்பதாவது நூற்றாண்டுக்குப் பின் உருண்டை சார்ந்த முக்கோணவியல் முறைகளும், துல்லிய நிலத்தரைப் படம் வரையும் கலைகளும் பெருகின.

வாள்முனை ஆள்கூற்று முறை பற்றிய வரலாறுகள் பல உள்ளன. ஆங்கிலத்தில் ஆர்வர்டுப் பேராசிரியர் சூலியன் லோவெல் கூலெரிட்ச்யு (Julian Lowell Coolidge) எழுதிய "ஆரிச்சின் ஆவ் போலார் கோஆர்டினேட்ஃசு" (Origin of Polar Coordinates.) என்னும் நூலில் விரிவாக விளக்கியுள்ளார்^[3]. வாள்முனை ஆள்கூற்று முறையின் கருத்துகளை 17-ஆம் நூற்றாண்டின் நடுப்பகுதியைச் சேர்ந்த கிரெகுவா டி செயின் வின்சென்ட்டு (Grégoire de Saint-Vincent) என்பாரும் போனாவெஞ்சுர காவலியெரி (Bonaventura Cavalieri) என்பாரும் தாங்கள் தனியாகவே (பிறர் சார்பின்றி) கண்டுபிடித்தார்கள் என்பர். செயின் வின்சென்ட்டு 1625 இல் தனியார் பரிமாற்றத்தில் எழுதிப் பின்னர் 1647 இல் வெளியிட்டார்; அதன் திருந்திய வடிவம் 1653 இல் வெளியாகியது. கவலியெரி முதன்முதலாக ஆர்க்கிமிடீசியச் சுருளுக்குள் சில பரப்புகளைக் கண்டுபிடிக்க வாள்முனை ஆள்கூற்று முறையைப் பயன்படுத்தினார். பிரான்சிய அறிஞர் பிளேசு பாசுக்கல் (Blaise Pascal) அடுத்ததாக பரவளைவுப் பகுதிகளின் நீளத்தைக் கணக்கிட ஆள்கூற்று முறைமையைப் பயன்படுத்தினார்.

1671 -இல் எழுதி, 1736 இல் ஐசாக் நியூட்டன் வெளியிட்ட மெத்தடு ஆவ் ஃபிளக்ஃசான்சு (Method of Fluxions) என்னும் நூலில் "சுருள்களுக்கான ஏழாவது முறை" என்று கூறும் இடத்தில் வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைகளுக்கு இடையே மாற்றம் செய்வதைப் பற்றிக் குறிப்பிட்டார். இது தவிர வேறு 9 முறைகளையும் கூறியுள்ளார்.^[4] ஆக்டா எருடிட்டோரம் ("Acta Eruditorum" )(1691) என்னும் ஆய்விதழில் யாக்கோபு பெர்னூலி இம்முறையைப் பயன்படுத்தியுள்ளார்

பொது குறிமுறை வழக்கங்கள்

வாள்முனைக் கூற்று வரைபடம். இதில் பல கோணங்கள் 360-இன் பாகைகளான குறிக்கப்பெற்றுள்ளன

ஆரக்கோல் நீளத்தைப் பொதுவாக r என்றும், கோணத்தை θ ("தீட்டா") அல்லது t என்று குறிப்பது வழக்கம்.

கோணங்கள் பெரும்பாலும் 360-இன் பாகைகளாகவோ, இரேடியன் (ரேடியன்) அளவிலோ குறிக்கப்பெறும். s (2π ரேடியன் = 360°). நில அளவையியலிலும், கடல், வான் செலவுகளிலும் (பயணங்களிலும்) பொதுவாக 360-இன் பாகைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஆனால் கணக்கிலும் இயற்பியல் முதலிய துறைகளில் இரேடியன் (ரேடியன்) பயன்படுத்தப்படுகின்றது^[5].

மிகப் பல சூழல்களில் நேர்மக் கோணங்கள் θ-கள் (பாசிடிவ் கோணங்கள்) என்பன இடஞ்சுழியாக அளக்கப்படுவன (அதாவது மணிகாட்டி நகரும் திசைக்கு எதிர்த்திசையில் அளக்கப்படுவன).

கிடை அச்சு தொடக்கப் புள்ளியில் தொடங்கி இடமிருந்து வலமாக நீண்டு இருக்கும் என்பதாகக் கொள்ளப்படும்.

வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமைக்கும் கார்ட்டீசிய ஆள்கூற்று முறைமைக்கும் இடையே தொடர்பும் மாற்றுவதற்கான சமன்பாடுகளும்

வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமைக்கும் கார்ட்டீசிய ஆள்கூற்று முறைமைக்கும் இடையே உள்ள உறவை விளக்கும் படம்.

கார்ட்டீசிய சமதளத்தில் உள்ள ஒரு வளைகோட்டுப் படத்தை வாள்முனை முறையில் பெயர்த்து எழுதலாம். இந்த அசை படத்தில்,

y=\sin(6x)+2

is mapped onto

r=\sin(6\theta )+2

. அசைபடத்தைப் பார்க்க சொடுக்குக.

வாள்முனியில் உள்ள இரு ஆள்கூறுகள் r உம், θ உம், கார்ட்டீசிய ஆள்கூறுகள் x and y ஆகிய இரண்டுக்குமாக மாற்ற முக்கோணவியல் சார்பியங்கள் சைன், கோசைன் ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்துவது வழக்கம்:

x=r\cos \theta \,

y=r\sin \theta \,

இதே போல கார்ட்டீசிய ஆள்கூறுகள் x உம், y உமும் வாள்முனை ஆள்கூறுகள் r உம், θ -வுமாக மாற்றக் கீழ்க்காணும் முறையைப் பின்பற்றலாம்:

r={\sqrt {y^{2}+x^{2}}}\quad

(பித்தேகோரசு தேற்றம்) கூறுமாறு,

\theta =\operatorname {atan2} (y,x)\quad

(இதில் "atan2" என்பது தாஞ்சன் வளைக்கூறு (arctangent)என்பதன் இன்னொரு பெயர். இச்சார்பியம் சமதளத்தின் காற்பகுதிகளைக் கணக்கில் கொள்ளுகின்றது.

அல்லது

\theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\0&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0\end{cases}}

இது ரேடியனில் குறிக்கப்பெறும்θ ஐத் தரும் (இடை வெளி (−π, π] யில்).^[6], பாகைகளில் −180° முதல் 180° வரை. இவ் வாய்பாட்டில் வாள் அடி (தொடக்கப் புள்ளி) ககர்ட்டீசிய தொடக்கப்புள்ளியின் ஆள்கூறுகள் என்று கொள்ளுகின்ரது (0,0) ஆரக்கோலின் அடி அச்சு கார்ட்டீசியக் கிடை அச்சு (x -அச்சு_ என்று கொள்ளுகின்றது.

பல நிரல் மொழிகளில் வாள்முனை ஆள்கூற்றுகளை கார்ட்டீசிய ஆள்கூற்றுகாளாகவும் எதிர்மாறாகவும் தர வசதிகள் உள்ளன

வாள்முனைக் கூற்று முறையில் பல வகையான கோடுகளின் சமன்பாடுகள்

வட்டம்

ஒரு வட்டத்தை r(θ) = 1 என்னும் சமன்பாட்டால் குறிக்கலாம்

வட்டத்துக்கான பொதுச் சமன்பாடு, வட்டத்தின் மையம் அல்லது நடுப்புள்ளி (r₀, $\varphi$ ) என்றும் ஆரம் a என்றும் கொண்டால்,

r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}.\,

இதனைப் வெவ்வேறு விதமாகக் குறிப்பிட்ட சூழலுக்கு எளிமையாக மாற்றி அமைக்கலாம்.

r(\theta )=a\,

என்பது மையப்புளி தொடக்கப்புள்ளியிலும், அதன் ஆரம் a என்றும் இருப்பதற்கான சமன்பாடு.^[7]

ஆரம் $r$ ₀ = $a$ என்றாலோ, தொடக்கப்புள்ளி வட்டத்தின் பரிதியின் இருந்தாலோ, அவ் வட்டத்தின் சமன்பாடு கீழ்க்காணுமாறு மாறும்.

r=2a\cos(\theta -\phi )

.

பொதுவாக, ஆரம் $r$ என்பதற்கான தீர்வாகக் கண்டால், வட்டத்தின் சமன்பாடு கீழ்க்காண்பதாகும்:

r=r_{0}\cos(\theta -\phi )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\phi )}}

,

வர்கமூலத்திற்கு (இருமடி வேருக்கு) முன்னே எதிர்மக் குறி (நெகட்டிவ் குறி) இருந்தாலும் இதே தீர்வே கிட்டும்.

நேர்கோடு

ஓர் எட்டு இதழ் உள்ள பூ போன்ற படம் தரும் வாள்முனைக் கூற்றுச் சமன்பாடுகள் r(θ) = 2 sin 4θ

ஆரக்கோல் அல்லது வாள் வழியாக ஓடும் கோடுகளைக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:

\theta =\varphi \,

,

மேலே உள்ளதில் φ என்பது கோட்டின் உயர்ந்திருக்கும் முகம்; அதாவது, φ = arctan m இதில் m என்பது கார்ட்டீசிய ஆள்கூற்று முறைமையில் கோட்டின் சாய்வு (slope), ஆரக்கோல் வழியாகச் செல்லாத θ = φ, அதனை (r₀, φ) என்னும் புள்ளியில் செங்குத்தாக வெட்டும் கோட்டைக் கீழ்க்காணும் சமன்பாட்டால் குறிக்கலாம்:

r(\theta )={r_{0}}\sec(\theta -\varphi ).\,

வேறுவிதமாகக் கூறினால் (r₀, φ) என்னும் புள்ளியில், தொடுகோடு (தாஞ்சன்ட்டு) r₀ என்னும் ஆரமுள்ள கற்பனை வட்டத்தைவ் வெட்டும்.

வாள்முனைக்கூற்று ரோசா

வாள்முனைக்கூற்று ரோசா என்பது பல அடுக்குள்ள பூ போன்ற வடிவம் கொண்ட நன்கு அறியப்பெற்ற கணிதவடிவம். இதன் வாள்முனைக்கூற்றுச் சமன்பாட்டை, மாறா φ₀ (0 -ஐயும் சேர்த்து) நிலைகளில், எளிதாகக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்

r(\theta )=a\cos(k\theta +\varphi _{0})\,

இப்பொழுது k என்பது முழு எண்ணாகக் கொண்டால், இச்சமன்பாடுகள் k என்பது ஒற்றைப்படை எண்ணாக இருந்தால் k-இதழ்கள் கொண்ட ரோசாவின்" வடிவத்தைக் காட்டும், k என்பது இரட்டைப்படை எண்ணாக இருந்தால 2k-இதழ்கள் கொண்ட ரோசாப் பூவாகக் காட்டும். k என்பது முழு எண்ணாக இல்லாமல் விகிதமுறு எண்ணாகக் கொண்டால், ரோசாப்பூ போன்ற ஆனால் இதழ்கள் ஒன்றான்மீது ஒன்றாக கலந்து காணப்படும். ஆனால் இந்தச் சமன்பாடுகள் எப்பொழுதும் 2, 6, 10, 14, etc. ஆகிய எண்ணிக்கை உடைய இதழ்களை உடைய பூக்களைக் காட்டாது (ஏனெனில் k = 1, 3, 5, 7... என்று இருந்தால் அவை ஒற்றைப்படையாகும், எனவே 2, 6, 10, 14,.. முதலியவற்றைப் பெறமுடியாது). மாறி a என்பது இதழின் நீளத்தை உறுதி செய்யும்.

ஆர்க்கிமிடீயச் சுருள்

ஆர்க்கிமிடீயச் சுருளின் ஒரு கிளை. இதன் சமன்பாடு 0 < θ < 6π என்னும் எல்லைக்குள்: r(θ) = θ / 2π

ஆர்க்கிமிடீயச் சுருள் என்பது ஆர்க்கிமிடீசால் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட கணித உலகில் நன்கு அறியப்பட்ட வடிவம். இதனை வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமையில் எளிதாக வடித்துக்காட்டலாம். இதனைக் கீழ்க்காணும் சமன்பாட்டால் குறிக்கலாம்:

r(\theta )=a+b\theta .\,

இதில் a என்னும் மாறியை மாற்றினால் இச்சுருள் திரும்பும் (சுழலும்), ஆனால் b என்பது இதன் கரங்களுக்கு (கைகளுக்கு) இடையே உள்ள தொலைவைக் கட்டுப்படுத்தும், ஆனால் இது ஒவ்வொரு சுருளுக்கும் அவற்றுள் மாறா மதிப்பு. ஆர்க்கிமிடீயச் சுருளில் இரண்டு கைகள் அல்லது கிளைகள் உள்ளன. ஒன்று நேர்ம மதிப்புக் கோணங்களுக்கும் θ > 0, மற்றது எதிர்ம மதிப்புக் கோணங்களுக்கும் θ < 0 ஆகும். இந்த இரண்டு கிளைகளும் தொடக்கப் புள்ளியில் (வாள் அடியில்) சீராய் இணைந்திருக்கும். 90°/270° கோட்டில் ஒரு கிளையை ஆடியில் எதிரொளிர்ப்பாகக் கொண்டால் மற்ற கிளை கிட்டும். கூம்பு வெட்டால் கிட்டும் வளைவுகளுக்குப் பிறது இதுவே கணித நூல்களில் விளக்கப்பட்ட ஒன்று. இதனை வாள்முனைக் கூற்று முறைமையில் சிறப்பாக விளக்கக்கூடிய ஒரு வளைகோடு.

கூம்பு வெட்டுகளும் அதன் வளைகோடுகளும்

நீள்வட்டமும் அதன் அரை செவ்வகலமும்

வாள் அடிப்புள்ளியில் ஒரு குவிய மையமும், 0° ஆரக்கோலில் (வாளில்) ஏதோ ஓரிடத்தில் மற்றொரு குவிய மையமும் கொண்டவாறு (அதாவது எடுத்துக்காட்டாக நீள் வட்டத்தின் பெரிய அச்சு கிடையாக இருக்குமாறு அமைந்த) ஒரு கூம்பு வெட்டு ஒன்றின் சமன்பாட்டைக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்.

r={\ell  \over {1+e\cos \theta }}

இதில் e என்பது மைய விலகுமை (eccentricity), $\ell$ என்பது அரைச் செவ்வகலம் (அதாவது குவியப்புள்ளியில் செங்குத்தாக நீள்வட்டத்தின் வளைகோட்டில் முட்டும் தொலைவு). மைய விலகுமை e > 1 ஆக இருந்தால் இந்தச் சமன்பாடு ஒரு மீபரவளைவை உருவாக்கும்; மாறாக மைய விலகுமை e = 1 ஆக இருந்தால் ஒரு பரவளைவை உருவாக்கும், மைய விலகுமை e < 1 ஆக இருந்தால் நீள்வட்டத்தை வடிக்கும். கடைசியாக சிறப்பு நிலையாகிய மைய விலகுமை சுழியாக, அதாவது e = 0 ஆக இருந்தால், கிட்டுவது $\ell$ என்னும் ஆரம் கொண்ட வட்டம்.

நுண்கணிதம்

வாள்முனை ஆள்கூறுகளக் கொண்டு நுண்கணிதம் வழி வரும் பயன்பாடுகளுக்கும் பயன்படுத்தலாம் ணுகலாம்^[8]^[9].

கோண ஆள்கூறு θ ஐ இப்பகுதியில் ரேடியனில் குறிக்கப்பட்டுள்ளது; இதுவே பொதுவாக நுண்கணித முறைகளில் பயன்படுத்தும் முறையும் ஆகும்

நுண்பகுப்பியக் கணிதம்

முதலில் x = r cos θ என்றும், y = r sin θ என்றும் கொண்டு, கார்ட்டீசிய ஆள்கூறுகளுக்கும், வாள்முனை ஆள்கூறுகளுக்கும் இடையே தொடர்பு ஏற்படுத்திக் கொள்ளலாம். எடுத்துக்காட்டாக, நாம், u(x,y) என்னும் சார்பியத்தை ("சார்பை") எடுத்துக்கொண்டால், கீழ்க்கண்ட உண்மைகளை எழுதிக்கொள்ளலாம்:

r{\frac {\partial u}{\partial r}}=r{\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial r}}+r{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial r}},

{\frac {\partial u}{\partial \theta }}={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \theta }}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \theta }},

அல்லது

r{\frac {\partial u}{\partial r}}=r{\frac {\partial u}{\partial x}}\cos \theta +r{\frac {\partial u}{\partial y}}\sin \theta =x{\frac {\partial u}{\partial x}}+y{\frac {\partial u}{\partial y}},

{\frac {\partial u}{\partial \theta }}=-{\frac {\partial u}{\partial x}}r\sin \theta +{\frac {\partial u}{\partial y}}r\cos \theta =-y{\frac {\partial u}{\partial x}}+x{\frac {\partial u}{\partial y}}.

எனவே, கீழ்க்காணும் வாய்பாடுகளை எட்டுகிறோம்:

r{\frac {\partial }{\partial r}}=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}}\,

{\frac {\partial }{\partial \theta }}=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}}.

வாள்முனை ஆள்கூறுகளால் விளக்கப்படும் ஒரு வளைகோட்டுக்கு r(θ) என்னும் புள்ளியில், கார்ட்டீசிய சாய்வுகளையும் தொடுகோடுகளையும் (தாஞ்சன்களையும்) கண்டுபிடிக்க, முதலில் இவ்வளைகோட்டை ஒரு பண்பளவுருச் சமன்பாடுகள் (parametric equations) வடிவில் எழுதிக்கொள்ள வேண்டும்.

x=r(\theta )\cos \theta \,

y=r(\theta )\sin \theta \,

இரண்டு சமன்பாடுகளையும் θ ஐ அடிப்படையாகக் கொண்டு நுண்பகுப்பியம் (நுண்வகையீடு) செய்தால் கிட்டுவன:

{\frac {dx}{d\theta }}=r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta \,

{\frac {dy}{d\theta }}=r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta .\,

இரண்டாவது சமனபாட்டை முதலால் வகுத்தால் (r(θ), θ) என்னும் புள்ளியில் கார்ட்டீசிய சாய்கோட்டு மதிப்பு கிட்டுகின்றது:

{\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta }{r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta }}.

மற்ற பயனுடைய வாள்முனை ஆள்கூற்று வாய்பாடுகளைக் காண, குறிப்பாக விரிகை (divergence), சரிவு (சாய்வு விகிதம்)(gradient), இலப்லாசியன் (Laplacian) ஆகியவற்றைக் காண வளையச்சு ஆள்கூற்று முறைமையைப் பார்க்கவும்.

இவற்றையும் காண்க

கார்ட்டீசிய ஆள்கூற்று முறைமை

உசாத்துணையும் மேற்கோள்களும் அடிக்குறிப்புகளும்

பொதுவானவை

Anton, Howard (2002). Calculus (Seventh ed.). Anton Textbooks, Inc. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-471-38157-8. {{cite book}}: Unknown parameter |coauthors= ignored (help)
Finney, Ross (1994). Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic (Single Variable Version ed.). Addison-Wesley Publishing Co. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-201-55478-X. {{cite book}}: Unknown parameter |coauthors= ignored (help); Unknown parameter |month= ignored (|date= suggested) (help)

குறிப்பானவை

↑ Friendly, Michael. "Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization". Archived from the original on 2011-03-20. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2006-09-10.
↑ King, David A. (2005). The Sacred Geography of Islam. p.166. In Koetsier, Teun; Luc, Bergmans, eds. (2005). Mathematics and the Divine: A Historical Study. Amsterdam: Elsevier. pp. 162–78. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-444-50328-5. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help). {{cite book}}: External link in |others= (help); Invalid |ref=harv (help); templatestyles stripmarker in |others= at position 11 (help)
↑ Julian Lowell Coolidge (1952). "The Origin of Polar Coordinates". American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 59 (2): 78–85. doi:10.2307/2307104. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Extras/Coolidge_Polars.html.
↑ Boyer, C. B. (1949). "Newton as an Originator of Polar Coordinates". American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 56 (2): 73–78. doi:10.2307/2306162. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1949-02_56_2/page/73.
↑ Serway, Raymond A. (2005). Principles of Physics. Brooks/Cole—Thomson Learning. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-534-49143-X. {{cite book}}: Unknown parameter |coauthors= ignored (help)
↑ Torrence, Bruce Follett (1999). The Student's Introduction to Mathematica. Cambridge University Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-521-59461-8. {{cite book}}: Unknown parameter |coauthors= ignored (help)
↑ Claeys, Johan. "Polar coordinates". Archived from the original on 2000-03-02. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2006-05-25.
↑ Husch, Lawrence S. "Areas Bounded by Polar Curves". Archived from the original on 2000-03-01. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2006-11-25.
↑ Lawrence S. Husch. "Tangent Lines to Polar Graphs". Archived from the original on 2019-11-21. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2006-11-25.

வெளியிணைப்புகள்

[milestones-1] Friendly, Michael. "Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization". Archived from the original on 2011-03-20. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2006-09-10.

[2] King, David A. (2005). The Sacred Geography of Islam. p.166. In Koetsier, Teun; Luc, Bergmans, eds. (2005). Mathematics and the Divine: A Historical Study. Amsterdam: Elsevier. pp. 162–78. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-444-50328-5. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help). {{cite book}}: External link in |others= (help); Invalid |ref=harv (help); templatestyles stripmarker in |others= at position 11 (help)

[coolidge-3] Julian Lowell Coolidge (1952). "The Origin of Polar Coordinates". American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 59 (2): 78–85. doi:10.2307/2307104. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Extras/Coolidge_Polars.html.

[4] Boyer, C. B. (1949). "Newton as an Originator of Polar Coordinates". American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 56 (2): 73–78. doi:10.2307/2306162. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1949-02_56_2/page/73.

[5] Serway, Raymond A. (2005). Principles of Physics. Brooks/Cole—Thomson Learning. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-534-49143-X. {{cite book}}: Unknown parameter |coauthors= ignored (help)

[6] Torrence, Bruce Follett (1999). The Student's Introduction to Mathematica. Cambridge University Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-521-59461-8. {{cite book}}: Unknown parameter |coauthors= ignored (help)

[ping-7] Claeys, Johan. "Polar coordinates". Archived from the original on 2000-03-02. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2006-05-25.

[8] Husch, Lawrence S. "Areas Bounded by Polar Curves". Archived from the original on 2000-03-01. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2006-11-25.

[9] Lawrence S. Husch. "Tangent Lines to Polar Graphs". Archived from the original on 2019-11-21. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2006-11-25.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]