அப்பொலோனியசின் தேற்றம்

வடிவவியலில், அப்பொலோனியசின் தேற்றம் என்பது ஒரு முக்கோணத்தின் பக்க நடுக்கோட்டின் நீளத்துக்கும், அம் முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கும் இடையே உள்ள நீளத் தொடர்பைக் கூறும் ஓர் உண்மை. குறிப்பாக, ABC என்பதை ஒரு முக்கோணமாகக் கொண்டால், அதன் ஒரு பக்க நடுக்கோட்டை AD என்று குறித்தால், இத்தேற்றம் கூறும் உண்மை:

பச்சை நிறப் பரப்பு [$2(BD^{2})$ ] + ஊதா நிறப் பரப்பு [$2(AD^{2})$ ]= சிவப்பு நிறப் பரப்பு [ $AB^{2}+AC^{2}$ ]

$AB^{2}+AC^{2}=2(AD^{2}+BD^{2})\,$ என்பதாகும்.

இது இசுட்டூவர்ட்டுத் தேற்றத்தின் ஒரு தனிக்கிளை வகை ஆகும். இம்முக்கோணம், இருசமபக்க முக்கோணமாக இருந்தால், இத்தேற்றம் பித்தேகோரசின் தேற்றமாக மாறுகின்றது. ஏனெனில் நடுக்கோடு செங்குத்துக் கோடு ஆகிவிடும். ஓர் இணை நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றை ஒன்று சமமாக வெட்டும் என்பதால், இத் தேற்றமானது, இணை நாற்கரத்தின் விதிக்கு ஈடாகின்றது.

இத்தேற்றத்தின் பெயர் கிரேக்க நாட்டின் பெர்கா (Perga) என்னும் இடத்தில் இருந்து வந்த அப்பொலோனியசு என்பவரின் பெயரால் அறியப்படுகின்றது.

நிறுவல்

அப்பொலோனிசுத் தேற்றத்தின் நிறுவல்

இந்தத் தேற்றத்தை இசுட்டுவர்டு தேற்றத்தின் தனிக்கூறுகளின் ஒன்றாக நிறுவமுடியும், அல்லது திசையன்களைக் கொண்டு நிறுவமுடியும் (காண்க: இணை நாற்கரத்தின் விதி). அடுத்து வருவது, அப்படியான அடிப்படையில் இல்லாமல் கோசைன் விதியைக் கொண்டு நிறுவுவது ஆகும்

ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களாக a, b, c என்பன இருக்கட்டும். அதன் a என்னும் பக்கத்தின் நடுப்புள்ளிக்கு வரையும் நடுக்கோடு d என்பதாக இருக்கட்டும். அடுத்து, m என்பது நடுக்கோட்டால் சமமாக பிரிக்கப்பட்ட a என்பதின் நீளமாகட்டும். எனவே m என்பது a யின் சரிபாதி ஆகும். பக்கம் aவுக்கும் d யுக்கும் இடையே உள்ள ஒரு பக்கக் கோணம் θ ("தீட்டா") என்றும், மறுபக்கக் கோணம் θ′ என்றுமாக இருக்கட்டும். அதாவது b இருக்கும் பக்கத்தில் உள்ள கோணம் θ என்றும், c பக்கம் உள்ள கோணம் θ′ என்றுமாக இருக்கட்டும். அதாவது θ′ என்பது, θ என்னும் கோணத்தின் 180°-துணைக்கோணம். எனவே cos θ′ = −cos θ. கோணங்கள் θ, θ′ ஆகியவற்றுக்கான கோசைன் விதிப் படி

${\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta .\,\end{aligned}}$

இவற்றைக் கூட்டினால், கிடைப்பது:

$b^{2}+c^{2}=2m^{2}+2d^{2}\,$

இதுவே நிறுவவேண்டிய சமன்பாடு.

இவற்றையும் பார்கக்வும்

• இசுட்டூவர்ட்டின் தேற்றம்

மேற்கோள்களும் அடிக்குறிப்புகளும்

• Godfrey, Charles; Siddons, Arthur Warry (1908). Modern Geometry. University Press. p. 20.
• Apollonius Theorem at PlanetMath.